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ZÊTA FONCTION

Fonction zêta et fonctions L sur une variété algébrique « définie sur Z »

Considérons maintenant dans l'anneau de polynômes Z[T1, ..., Tm]un idéal a et convenons de dire qu'il définit une « variété X sur Z » (le langage adapté à cette situation est celui des « schémas » de Grothendieck). Pour chaque nombre premier p, l'homomorphisme canonique :

définit un homomorphisme :
transformant a en un idéal ap, définissant par suite une variété algébrique Xp sur Fp. On peut alors, tout au moins formellement, considérer le produit :
étendu à tous les nombres premiers p ; c'est la fonction zêta de Hasse-Weil. Par exemple, si l'on prend a = (0), on trouve ζ(X, s) = ζ(m − s) où, au second membre, ζ est la fonction de Riemann. Si n est la dimension de X (qu'on définit ici comme le plus grand nombre tel qu'il y ait une chaîne strictement croissante p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn+1 d'idéaux premiers de Z[T1, ..., Tn]contenant a), on montre que le produit (22) est absolument convergent pour Re s > n. On conjecture que ζ(X, s) peut se prolonger en une fonction méromorphe dans tout le plan et vérifiant une équation fonctionnelle analogue à (3) ; mais on ne sait jusqu'ici prouver cette conjecture que dans un petit nombre de cas où X est soit une courbe algébrique d'un type très particulier, soit une variété abélienne d'un type spécial, soit enfin certaines variétés fibrées ayant pour base une courbe algébrique et pour fibres des variétés abéliennes. Dans chacun de ces cas, on parvient au résultat par un calcul explicite de ζ(X, s) à l'aide de fonctions L de Hecke ou de Dedekind. En général, on sait seulement prolonger analytiquement ζ(X, s) en une fonction méromorphe dans le demi-plan Re s > n − 1/2 et, si X ≠ ∅, le point s = n est un pôle d'ordre égal au nombre de composantes irréductibles de X de dimension n.

On peut aussi considérer les fonctions L que l'on définit par une formule analogue à (22) :

lorsque G opère sur X, c'est-à-dire lorsque G opère sur Z[T1, ..., Tm]en laissant stable l'idéal a ; on a donc encore une factorisation :

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Autres références

  • ARTIN EMIL (1898-1962)

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    • 1 319 mots
    ...l'application des résultats obtenus à la théorie des nombres. Pour tout corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée la fonction zêta de Dedekind, qui généralise la fonction zêta de Riemann (obtenue lorsque K est le corps des nombres rationnels). Généralisant un résultat...

  • BOHR HARALD (1887-1951)

    • Écrit par
    • 130 mots

    Né à Copenhague, frère du physicien Niels Bohr, Harald Bohr devint professeur à l'institut polytechnique de Copenhague, en 1915, puis à l'Université de cette ville, en 1930.

    Ses premiers travaux portent sur les séries de Dirichlet. En liaison avec E. Landau, il étudie la fonction...

  • GAMMA FONCTION

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    • 2 médias
    Graphe - crédits : Encyclopædia Universalis France
    ...La fonction gamma permet ainsi de ramener certains problèmes d'arithmétique multiplicative à des problèmes additifs. En particulier, la célèbre fonction zêta, intervenant dans la théorie des nombres premiers, peut s'écrire sous la forme :
    qui est à la base de la théorie de Riemann (cf....

  • HADAMARD JACQUES (1865-1963)

    • Écrit par
    • 1 401 mots
    ...L'étude du genre des fonctions entières conduit Hadamard aux grands problèmes de la théorie des nombres. Dans un mémoire de 1896, il montre que la fonction zêta n'a pas de zéros sur la droite Re z = 1. Ce résultat lui permet d'obtenir la première démonstration complète du fameux théorème,...
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