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ZÊTA FONCTION

Équations fonctionnelles et représentation des groupes

On peut considérer que l'intégrale eulérienne :

définit Γ comme « transformée de Mellin » de e-x, la transformation de Mellin se déduisant de la transformation de Laplace bilatère (ou transformation de Fourier-Laplace) qui à une fonction f fait correspondre la fonction :
par le changement de variable x = et dans l'intégrale ; la « formule d'inversion » de la transformation de Mellin donne alors :
où l'intégrale est prise le long de la droite t ↦ c + it dans le plan complexe, avec c > 0. La démonstration de l' équation fonctionnelle de ζ(s) par Riemann rappelée plus haut conduit à l'idée plus générale d'attacher à une série de Dirichlet :
convergente dans un demi-plan, donc telle que an = O(nc) pour c > 0, la fonction f, analytique dans le demi-plan H tel que Im z > 0, définie par :
pour λ > 0, de sorte que la fonction :
soit transformée de Mellin de f. Généralisant la méthode de Riemann, E. Hecke a remarqué que les propriétés (A) et (B) suivantes sont équivalentes.

Propriété (A). La fonction :

où ε = ± 1, est entière et bornée dans chaque « bande » |Re s| ≤ a et vérifie, pour un k > 0, l'équation fonctionnelle :
Propriété (B). On a :

Lorsque ϕ(s) = ζ(2s), on a ε = 1, λ = 2 et k = 1/2. Une fonction analytique dans H de la forme (26), donc telle que f (z + λ) = f (z), et vérifiant en outre (B) est dite forme modulaire de dimension k et de multiplicateur ε pour le groupe G(λ) engendré par les deux automorphismes z ↦ z + λ et z ↦ − 1/z du demi-plan H. Le cas le plus important est celui où λ = 1, le groupe G(1) n'étant autre alors que le groupe modulaire des transformations :

avec a, b, c et d dans Z et avec ad − bc = 1 ; ce groupe est le quotient de SL(2, Z) par son centre.

On aperçoit donc là le début d'une étroite relation entre la théorie des représentations des groupes (du groupe GL(2) pour commencer) et les propriétés arithmétiques des courbes algébriques définies sur un corps de nombres, par le biais des fonctions zêta et L attachées à ces courbes. Cette relation est activement explorée à l'heure actuelle (A. Weil, G. Shimura, H. Jacquet et R. Langlands, P. Deligne...) et paraît pleine de promesses.

— Jean DIEUDONNÉ

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