FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe
On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension au cas complexe de nombreuses fonctions classiques a été réalisée par l'intermédiaire des développements en série ; les séries entières restent à la base de l'étude locale des fonctions analytiques. Avec l'introduction de l'intégrale curviligne, on peut aborder des problèmes globaux, comme la recherche des primitives, qui font apparaître des conditions de nature « géométrique » ou, plutôt, topologique, imposées aux ouverts du plan complexe ; les représentations intégrales de Cauchy sont à la base du calcul des résidus, qui a d'innombrables applications pratiques.
On a passé sous silence les résultats relatifs aux fonctions harmoniques de deux variables, qui ne sont autres que les parties réelles de fonctions analytiques, en renvoyant à l'article théorie du potentiel.
Séries entières
La définition et l'étude des fonctions analytiques reposent sur la notion de série entière, c'est-à-dire de série de la forme :
On dit que la série (1) converge normalement dans un ensemble K ⊂ C si la série des modules de ses termes est uniformément convergente pour z ∈ K. Rappelons qu'il suffit pour cela qu'il existe une série numérique convergente de terme général αn telle que |an(z − a)n| ≤ αn pour tout n ∈ N et z ∈ K.
On désigne, dans ce qui suit, par D (a, r) et D− (a, r) les disques ouvert et fermé de centre a et de rayon r, c'est-à-dire les ensembles de nombres complexes z tels que |z − a| < r et |z − a| ≤ r respectivement.
Convergence
Étudions l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série (1) est convergente. Posant Z = z − a pour simplifier, on se ramène, par une translation, à une série entière :
Théorème 1. Soit R (éventuellement égal à 0 ou à + ∞) défini par la formule d'Hadamard :
Ce nombre R est appelé le rayon de convergence de la série entière (2) et le disque ouvert correspondant D(0, R), qui est éventuellement vide ou égal au plan complexe tout entier, est appelé le disque de convergence de cette série. Remarquons que le théorème n'affirme rien pour |Z| = R ; toutes les circonstances peuvent se rencontrer : divergence en tout point de ce cercle, convergence avec ou sans convergence absolue en certains points, convergence partout (cf. infra, Principe des zéros isolés).
Il faut indiquer la démonstration du théorème 1. Supposons d'abord R > 0 et soit r < R : choisissons ρ tel que r < ρ < R. D'après (3), on a :
Pour trouver un rayon de convergence, on utilise rarement la formule (3), dont l'intérêt est surtout théorique, mais on étudie, suivant les valeurs[...]
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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