FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

La dérivation complexe

Soit U un ouvert du plan et f une fonction à valeurs complexes définie dans U. On dit que f est dérivable au sens complexe en un point z₀ = x₀ + iy₀∈ U si l'expression :

tend vers une limite f ′ (z₀) lorsque le nombre complexe u = s + it tend vers zéro en module (c'est-à-dire lorsque (s, t ) tend vers (0, 0) dans R²) ; le nombre complexe f ′(z₀) s'appelle la dérivée de f au sens complexe au point z₀.

Équations de Cauchy-Riemann

La condition de dérivabilité complexe au point z₀ peut aussi s'écrire :

où ε(u) tend vers 0 pour |u| → 0. Si on pose f (x + iy) = f (x, y), on aura :

ce qui exprime que la fonction f (x, y), considérée comme fonction des deux variables réelles x et y, est dérivable (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables, chap. 2) et que :

d'où :

Réciproquement, si f est une fonction dérivable des deux variables x et y satisfaisant à la condition (7), elle est dérivable au sens complexe. Si on pose f (x, y) = P(x, y) + iQ(x, y), la condition (7) donne les deux relations, appelées conditions de Cauchy-Riemann :

Si f est une fonction dérivable des deux variables réelles x, y, on pose souvent :

ce qui est suggéré par l'expression de la différentielle :

avec dz = dx + i dy et dz̄ = dx − i dy. La condition de Cauchy-Riemann peut alors s'écrire :

et on a, si f est dérivable au sens complexe :

Dans ce qui suit, on va montrer qu'une fonction f est analytique dans un ouvert U si et seulement si elle est continûment dérivable au sens complexe dans U (cela signifie que f ′ est une fonction continue dans U). D'après ce qui précède, cela revient à dire que f (z) est analytique si et seulement si f (x, y) est une fonction continûment dérivable des deux variables x, y qui satisfait, en tout point z = x + iy de U, à l'une des conditions équivalentes (7) ou (8).

Dérivation des fonctions analytiques

Montrons tout d'abord que toute fonction analytique est indéfiniment dérivable au sens complexe et que sa dérivée est encore une fonction analytique. La dérivabilité et l'analyticité étant des propriétés locales (cela veut dire que si tout point U est centre d'un disque dans lequel ces propriétés sont vraies, alors elles sont vraies dans U), il suffit d'établir le résultat suivant :

Théorème 3. Soit :

la somme d'une série entière dans un disque D(a, r) ; alors la fonction f est dérivable dans D(a, r), et on a :

Remarquons tout d'abord que, puisque :

la formule d'Hadamard (3) montre que les séries entières (_*) et (**) ont le même rayon de convergence. Par translation, on se ramène à a = 0.

Soit z₀∈ D(0, r) et choisissons ρ tel que |z₀| < ρ < r ; désignons enfin par g(z) la somme de la série (**) pour |z| < r. On a, pour z ≠ z₀ :

l'expression entre crochets est nulle pour n = 1 et, pour n ≥ 2, on peut majorer son module :

pour |z| < ρ. Par suite :

cette dernière série est convergente, puisque ρ < r, et f est donc dérivable en z₀, de dérivée f′(z₀) = g(z₀).

Puisque f′ est analytique, on peut lui appliquer de nouveau le théorème 3. Par récurrence, on obtient que f est indéfiniment dérivable au sens complexe et que sa dérivée k-ième est :

pour |z − a| < r. Pour z = a, on a :

ainsi les coefficients a_k du développement (_*) s'expriment simplement en fonction des valeurs des dérivées de f au point a. Si f est une fonction analytique dans un ouvert U, son développement en série entière de centre a est :

dans un voisinage de tout point a ∈ U ; c'est la formule de Taylor de f au point a. Cela redémontre, en particulier, l'unicité de ce développement en série entière de centre a.

Il résulte du théorème[...]

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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