FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe
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Les coefficients de la série de Taylor
La formule (10) qui donne une expression intégrale des coefficients du développement en série entière va nous donner de précieux renseignements.
La propriété de moyenne
Considérons tout d'abord le terme constant de la formule de Taylor. On a, pour n = 0 dans (10) :
Le principe du maximum
Une importante conséquence de la propriété de moyenne est le principe du maximum, que l'on peut énoncer ainsi : Soit U un ouvert connexe du plan complexe et f une fonction analytique dans U ; s'il existe un point a ∈ U tel que l'on ait |f (z)| ≤ |f (a)| dans tout un disque de centre a (on dit alors que la fonction |f| a un maximum relatif en a), alors f est constante dans l'ouvert U.
Pour cela, remarquons d'abord que, si f(a) = 0, alors on a f(z) = 0 dans tout un voisinage de a, d'où f = 0 dans U tout entier. Supposons donc f (a) ≠ 0 ; multipliant f par une constante complexe, on se ramène au cas où f (a) est réel positif. D'après le principe du prolongement analytique, il suffit de montrer que f est constante dans un voisinage de a.
Soit R tel que |f (z)| ≤ f (a) pour |z − a| < R, et limitons-nous à des valeurs r < R ; soit M(r) la borne supérieure de f(z) pour |z| = r. D'après l'hypothèse, on a donc M(r) ≤ f (a). De plus, d'après la propriété de moyenne (14), on a f(a) ≤ M(r) et, par suite, f (a) = M(r). Considérons la fonction u(z) qui est la partie réelle de f (a) − f (z), u(z) = f (a) − Ref (z) ; on a u(z) ≥ 0, puisque Re f ≤ |f| et u(z) = 0 si et seulement si f (z) = f (a). Or u est la partie réelle d'une fonction holomorphe, donc possède la propriété de moyenne : sa moyenne sur le cercle |z − a| = r est égale à g(a), donc nulle :
Voici par exemple une conséquence du principe du maximum qui sert souvent. Si f est une fonction analytique dans un disque D(a, R), alors on a, pour r < R :
En effet, on a :
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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