FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

Les coefficients de la série de Taylor

La formule (10) qui donne une expression intégrale des coefficients du développement en série entière va nous donner de précieux renseignements.

La propriété de moyenne

Considérons tout d'abord le terme constant de la formule de Taylor. On a, pour n = 0 dans (10) :

par translation, on aurait, pour tout point a ∈ U :

pour tout r assez petit. Cette relation exprime que la valeur de f en a est égale à la valeur moyenne de f sur les cercles de centre a et de rayon r assez petit, ce qu'on exprime en disant que f possède la propriété de moyenne. Il est clair que la partie réelle et la partie imaginaire de f possèdent encore ces propriétés : ce sont des fonctions harmoniques.

Le principe du maximum

Une importante conséquence de la propriété de moyenne est le principe du maximum, que l'on peut énoncer ainsi : Soit U un ouvert connexe du plan complexe et f une fonction analytique dans U ; s'il existe un point a ∈ U tel que l'on ait |f (z)| ≤ |f (a)| dans tout un disque de centre a (on dit alors que la fonction |f| a un maximum relatif en a), alors f est constante dans l'ouvert U.

Pour cela, remarquons d'abord que, si f(a) = 0, alors on a f(z) = 0 dans tout un voisinage de a, d'où f = 0 dans U tout entier. Supposons donc f (a) ≠ 0 ; multipliant f par une constante complexe, on se ramène au cas où f (a) est réel positif. D'après le principe du prolongement analytique, il suffit de montrer que f est constante dans un voisinage de a.

Soit R tel que |f (z)| ≤ f (a) pour |z − a| < R, et limitons-nous à des valeurs r < R ; soit M(r) la borne supérieure de f(z) pour |z| = r. D'après l'hypothèse, on a donc M(r) ≤ f (a). De plus, d'après la propriété de moyenne (14), on a f(a) ≤ M(r) et, par suite, f (a) = M(r). Considérons la fonction u(z) qui est la partie réelle de f (a) − f (z), u(z) = f (a) − Ref (z) ; on a u(z) ≥ 0, puisque Re f ≤ |f| et u(z) = 0 si et seulement si f (z) = f (a). Or u est la partie réelle d'une fonction holomorphe, donc possède la propriété de moyenne : sa moyenne sur le cercle |z − a| = r est égale à g(a), donc nulle :

puisque u est continue ≥ 0, cela entraîne u(z) = 0, donc f (z) = f (a), dans tout le disque D(a, R).

Voici par exemple une conséquence du principe du maximum qui sert souvent. Si f est une fonction analytique dans un disque D(a, R), alors on a, pour r < R :

en effet, la fonction continue |f| atteint sa borne supérieure dans D(0, r) en un point qui, d'après le principe du maximum, est nécessairement un point frontière, sinon f serait constante (et alors (15) trivial). Ce raisonnement s'appliquerait à tout compact (ensemble fermé et borné) du plan : si f est analytique dans un ouvert connexe D d'adhérence D− compacte et continue sur D−, alors |f| n'atteint son maximum qu'en un point frontière, sinon elle est constante. Donnons une application de (15) en établissant le lemme de Schwarz, qui sert dans la théorie de la représentation conforme (cf. fonctions analytiques – Représentation conforme) : Soit f une fonction analytique pour |z| < 1 telle que f (0) = 0 et |f (z)| < 1 pour |z| < 1 ; alors on a |f (z)| ≤ |z| pour |z| < 1, avec égalité en un point z₀ ≠ 0, si et seulement si f (z) = λz, λ constante complexe du module 1.

En effet, on a :

et, par suite, la fonction :

est analytique pour |z| < 1. Puisque |f(z)| < 1, on a donc |g(z)| ≤ 1/r pour |z| = r, et aussi pour |z| ≤ r, d'après (15). Ainsi, fixant z ∈ D(0, 1), on a |f(z)| ≤ |z|/r quel que soit r > |z|, r < 1 ; faisant tendre r vers 1, on a bien |f(z)| ≤ |[...]

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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