FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

Le problème des primitives

Nous avons obtenu maintenant à peu près tous les résultats qu'il est possible de démontrer localement, c'est-à-dire à partir de l'étude des séries entières ; pour continuer la théorie, nous avons besoin d'un remarquable outil introduit par Cauchy, l'intégrale curviligne le long d'une courbe.

L'intégrale curviligne

On va tout d'abord préciser la terminologie et les conditions de régularité auxquelles seront soumises les « courbes » du plan qui interviennent dans la suite.

On appelle chemin dans le plan complexe toute application continue γ : I → C d'un intervalle I = [a, b]dans le plan complexe qui est continûment dérivable par morceaux ; cela signifie que I est une réunion d'un nombre fini d'intervalles fermés dans lesquels γ est continûment dérivable, ou encore que γ est la primitive d'une fonction continue par morceaux dans I. Le point γ(a) s'appelle l'origine du chemin γ et le point γ(b) est son extrémité ; un chemin fermé, c'est-à-dire tel que γ(a) = γ(b) sera appelé un lacet. Enfin, on appelle trajectoire le sous-ensemble γ(I) du plan complexe parcouru par γ(t) pour t ∈ I ; si γ est un chemin, on le représentera géométriquement en dessinant sa trajectoire et en indiquant par des flèches le « sens de parcours » du point γ(t) lorsque t croît de a à b. L'exemple le plus simple d'une telle situation est celui d'une fonction affine par morceaux : la trajectoire est alors une ligne brisée (cf. chap. 1). Soit maintenant n un entier relatif non nul, z₀ un nombre complexe et r un nombre réel positif ; pour t ∈ [0, 2π], l'application :

est un lacet dont la trajectoire est le cercle de centre z₀ et de rayon r. Nous dirons que ce lacet est ce cercle « parcouru n fois », car tout point de ce cercle est l'image de |n| valeurs distinctes de t ∈ [0, 2π] ; on dira aussi que c'est ce cercle parcouru une fois dans le sens direct si n = 1 et dans le sens rétrograde si n = − 1.

Pour l'intégrale curviligne, nous aurons besoin d'une notion de courbe orientée plus « géométriquement », c'est-à-dire indépendante dans une certaine mesure du paramétrage γ. Nous dirons que deux chemins :

sont équivalents s'il existe une bijection continue ϕ croissante de I₁ sur I₂, continûment dérivable par morceaux ainsi que la bijection réciproque, telle que γ₁(t) = γ₂(ϕ(t)) pour tout t ∈ I₁. Par exemple, pour tout chemin, on peut trouver, par une homothétie suivie d'une translation, un chemin équivalent défini dans un intervalle fixe de R, par exemple [0, 1].

Soit maintenant γ :[a, b] → C un chemin et f une fonction à valeurs complexes définie et continue sur la trajectoire de γ. D'après les conditions de régularité imposées à γ, la fonction t ↦ f(γ(t))γ′(t) est continue par morceaux, donc intégrable, dans[a, b]. On appelle intégrale curviligne le long du chemin γ le nombre complexe :

par exemple, si γ est le cercle de centre z₀ et de rayon r parcouru une fois dans le sens direct (cf. supra) et f une fonction continue sur ce cercle, on a :

La notion d'équivalence des chemins introduite ci-dessus s'avère particulièrement bien adaptée à l'intégrale curviligne ; en effet, la formule de changement de variable dans une intégrale montre que, si γ₁ et γ₂ sont des chemins équivalents et f une fonction continue sur leur trajectoire commune, les intégrales curvilignes de f sur γ₁ et sur γ₂ sont égales.

Indiquons enfin comment on peut majorer une intégrale curviligne : si |f (z)| ≤ M pour tout point z de la trajectoire de γ, on a :

et cette dernière intégrale n'est autre que la longueur L(γ) du chemin. Ainsi :

Lien avec les primitives

Si la fonction f est définie dans un ouvert U contenant la trajectoire[...]

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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