FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe
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Le problème des primitives
Nous avons obtenu maintenant à peu près tous les résultats qu'il est possible de démontrer localement, c'est-à-dire à partir de l'étude des séries entières ; pour continuer la théorie, nous avons besoin d'un remarquable outil introduit par Cauchy, l'intégrale curviligne le long d'une courbe.
L'intégrale curviligne
On va tout d'abord préciser la terminologie et les conditions de régularité auxquelles seront soumises les « courbes » du plan qui interviennent dans la suite.
On appelle chemin dans le plan complexe toute application continue γ : I → C d'un intervalle I = [a, b]dans le plan complexe qui est continûment dérivable par morceaux ; cela signifie que I est une réunion d'un nombre fini d'intervalles fermés dans lesquels γ est continûment dérivable, ou encore que γ est la primitive d'une fonction continue par morceaux dans I. Le point γ(a) s'appelle l'origine du chemin γ et le point γ(b) est son extrémité ; un chemin fermé, c'est-à-dire tel que γ(a) = γ(b) sera appelé un lacet. Enfin, on appelle trajectoire le sous-ensemble γ(I) du plan complexe parcouru par γ(t) pour t ∈ I ; si γ est un chemin, on le représentera géométriquement en dessinant sa trajectoire et en indiquant par des flèches le « sens de parcours » du point γ(t) lorsque t croît de a à b. L'exemple le plus simple d'une telle situation est celui d'une fonction affine par morceaux : la trajectoire est alors une ligne brisée (cf. chap. 1). Soit maintenant n un entier relatif non nul, z0 un nombre complexe et r un nombre réel positif ; pour t ∈ [0, 2π], l'application :
Pour l'intégrale curviligne, nous aurons besoin d'une notion de courbe orientée plus « géométriquement », c'est-à-dire indépendante dans une certaine mesure du paramétrage γ. Nous dirons que deux chemins :
Soit maintenant γ :[a, b] → C un chemin et f une fonction à valeurs complexes définie et continue sur la trajectoire de γ. D'après les conditions de régularité imposées à γ, la fonction t ↦ f(γ(t))γ′(t) est continue par morceaux, donc intégrable, dans[a, b]. On appelle intégrale curviligne le long du chemin γ le nombre complexe :
La notion d'équivalence des chemins introduite ci-dessus s'avère particulièrement bien adaptée à l'intégrale curviligne ; en effet, la formule de changement de variable dans une intégrale montre que, si γ1 et γ2 sont des chemins équivalents et f une fonction continue sur leur trajectoire commune, les intégrales curvilignes de f sur γ1 et sur γ2 sont égales.
Indiquons enfin comment on peut majorer une intégrale curviligne : si |f (z)| ≤ M pour tout point z de la trajectoire de γ, on a :
Lien avec les primitives
Si la fonction f est définie dans un ouvert U contenant la trajectoire[...]
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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