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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

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La formule intégrale de Cauchy

Cette formule donne les valeurs d'une fonction analytique, sous forme d'une intégrale curviligne ; en particulier, elle traduit le fait que les valeurs d'une fonction analytique à l'« intérieur » d'une courbe sont déterminées par les valeurs prises sur la courbe. Nous aurons tout d'abord besoin de préciser une notion de caractère géométrique, le « nombre de fois » où une courbe fermée « tourne » autour d'un point.

L'indice

Soit γ : I = [a, b] → C un lacet et soit Ω le complémentaire de la trajectoire γ(I) de γ. Pour tout z ∈ Ω, on appelle indice du point z par rapport au lacet γ le nombre :

montrons que j(z ; γ) est toujours un entier relatif. Pour z ∈ Ω fixé, posons :
de telle sorte que j(z ; γ) = h(b)/2 iπ, par définition de l'intégrale curviligne le long de γ. Puisque ew = 1 si et seulement si w/2 iπ est un entier (cf. exponentielle et logarithme, chap. 4), il suffit d'établir que e-h(b) = 1.

Posons :

puisque :
sauf en un nombre fini de points, on a :
ce qui montre que la fonction continue g est constante, sur[a, b]. En particulier, g(a) = g(b), d'où, puisque h(a) = 0 :
or γ(b) = γ(a), car γ est un lacet, ce qui établit le résultat.

Indice d'un point par rapport à un lacet - crédits : Encyclopædia Universalis France

Indice d'un point par rapport à un lacet

Encyclopædia Universalis France

La formule (23) montre facilement que, pour γ fixé, la fonction z ↦ j(z ; γ) est continue dans Ω ; puisqu'elle ne prend que des valeurs entières, elle est donc constante dans chaque composante connexe de Ω. D'autre part, si γ1 et γ2 sont deux lacets homotopes dans le complémentaire de z, il résulte du théorème de Cauchy que j(z ; γ1) = j(z ; γ2), puisque ζ ↦ 1/(ζ − z) est analytique dans C − {a} ; en particulier, si la trajectoire de γ est contenue dans un ouvert simplement connexe U, on a j(z ; γ) = 0 pour tout z ∉ U. Il en résulte que j(z ; γ) = 0 pour |z| assez grand et par suite dans toute la composante connexe non bornée de Ω = C − γ(I). Si γ : t ↦ eint, n ∈ Z, est le cercle unité parcouru n fois, on a :

et par suite j(z ; γ) = n pour |z| < 1, puisque le disque unité est connexe ; puisque l'extérieur du disque unité est connexe, on a j(z ; γ) = 0 pour |z| > 1. De manière générale, l'indice exprime le nombre algébrique de fois où le point γ(t ) « tourne » autour de z lorsque t croît de a à b. Par exemple, sur la figure, on a j(u ; γ) = 1, j(v ; γ) = 3, j(w ; γ) = 2.

La notion d'indice permet, en introduisant une nouvelle définition, de définir le cadre exact du théorème de Cauchy. Soit U un ouvert du plan ; on dira que deux lacets γ et γ′ sont U-homologues si tout point du complémentaire de U a le même indice par rapport à ces deux lacets. Intuitivement, cela exprime que γ et γ′ « tournent » le même nombre de fois autour de tout point du complémentaire de U. On voit alors facilement que deux lacets homotopes dans U sont a fortiori U-homologues. Le théorème de Cauchy, sous sa forme la plus générale, que nous admettrons, affirme que, si γ et γ′ sont U-homologues, alors :

pour toute fonction f analytique dans U.

Formule intégrale de Cauchy

Soit γ un lacet dans un domaine simplement connexe U ; la formule intégrale de Cauchy exprime que, pour toute fonction f analytique dans U, on a :

pour tout point z de U n'appartenant pas à la trajectoire de γ.

En effet, on voit facilement sur le développement en série entière de f au voisinage de z que la fonction g définie par :

est analytique dans un voisinage de z, et, par suite, dans U tout entier. D'après le théorème de Cauchy (cf. chap. 4), l'intégrale curviligne de g le long de γ est donc nulle ; soit, puisque z n'appartient pas à la trajectoire de γ :

La formule de Cauchy est particulièrement intéressante[...]

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  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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