FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe
Article modifié le
La formule intégrale de Cauchy
Cette formule donne les valeurs d'une fonction analytique, sous forme d'une intégrale curviligne ; en particulier, elle traduit le fait que les valeurs d'une fonction analytique à l'« intérieur » d'une courbe sont déterminées par les valeurs prises sur la courbe. Nous aurons tout d'abord besoin de préciser une notion de caractère géométrique, le « nombre de fois » où une courbe fermée « tourne » autour d'un point.
L'indice
Soit γ : I = [a, b] → C un lacet et soit Ω le complémentaire de la trajectoire γ(I) de γ. Pour tout z ∈ Ω, on appelle indice du point z par rapport au lacet γ le nombre :


Posons :




La formule (23) montre facilement que, pour γ fixé, la fonction z ↦ j(z ; γ) est continue dans Ω ; puisqu'elle ne prend que des valeurs entières, elle est donc constante dans chaque composante connexe de Ω. D'autre part, si γ1 et γ2 sont deux lacets homotopes dans le complémentaire de z, il résulte du théorème de Cauchy que j(z ; γ1) = j(z ; γ2), puisque ζ ↦ 1/(ζ − z) est analytique dans C − {a} ; en particulier, si la trajectoire de γ est contenue dans un ouvert simplement connexe U, on a j(z ; γ) = 0 pour tout z ∉ U. Il en résulte que j(z ; γ) = 0 pour |z| assez grand et par suite dans toute la composante connexe non bornée de Ω = C − γ(I). Si γ : t ↦ eint, n ∈ Z, est le cercle unité parcouru n fois, on a :

La notion d'indice permet, en introduisant une nouvelle définition, de définir le cadre exact du théorème de Cauchy. Soit U un ouvert du plan ; on dira que deux lacets γ et γ′ sont U-homologues si tout point du complémentaire de U a le même indice par rapport à ces deux lacets. Intuitivement, cela exprime que γ et γ′ « tournent » le même nombre de fois autour de tout point du complémentaire de U. On voit alors facilement que deux lacets homotopes dans U sont a fortiori U-homologues. Le théorème de Cauchy, sous sa forme la plus générale, que nous admettrons, affirme que, si γ et γ′ sont U-homologues, alors :

Formule intégrale de Cauchy
Soit γ un lacet dans un domaine simplement connexe U ; la formule intégrale de Cauchy exprime que, pour toute fonction f analytique dans U, on a :

En effet, on voit facilement sur le développement en série entière de f au voisinage de z que la fonction g définie par :


La formule de Cauchy est particulièrement intéressante[...]
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Médias
Autres références
-
FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)
- Écrit par Bernard PIRE
- 270 mots
- 1 média
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est un mathématicien français prolifique, auteur de 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable...
-
PRIX ABEL 2016
- Écrit par Yves GAUTIER
- 1 168 mots
- 2 médias
Pour ce qui est desformes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant... -
ANALYSE MATHÉMATIQUE
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 8 532 mots
...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis... -
ANNEAUX & ALGÈBRES
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 5 036 mots
- 1 média
...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et... -
ASYMPTOTIQUES CALCULS
- Écrit par Jean-Louis OVAERT et Jean-Luc VERLEY
- 6 252 mots
- 1 média
...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont... - Afficher les 20 références
Voir aussi
- CONVERGENCE, mathématiques
- LIOUVILLE THÉORÈME DE
- DÉTERMINATION PRINCIPALE DU LOGARITHME
- CAUCHY-RIEMANN ÉQUATIONS DE
- CAUCHY FORMULE INTÉGRALE DE
- MÉROMORPHE FONCTION
- POINT SINGULIER
- RÉSIDUS THÉORÈME DES
- PROLONGEMENT ANALYTIQUE
- RIEMANN SURFACE DE
- POINT RÉGULIER
- RUNGE THÉORÈME DE
- SCHWARZ PRINCIPE DE SYMÉTRIE DE
- PÔLE, mathématiques
- SCHWARZ LEMME DE
- ZÉROS ISOLÉS PRINCIPE DES
- ZÉRO ORDRE D'UN
- SÉRIES ENTIÈRES
- RAYON DE CONVERGENCE
- FONCTION ANALYTIQUE ÉLÉMENT DE
- MITTAG-LEFFLER THÉORÈME DE
- MORERA THÉORÈME DE
- INDICE D'UN POINT
- LAURENT SÉRIES DE
- INTÉGRALE CURVILIGNE
- HADAMARD FORMULE D'
- LACET, mathématiques
- HOMOTOPIE
- MOYENNE PROPRIÉTÉ DE
- MAXIMUM PRINCIPE DU
- CAUCHY INÉGALITÉS DE
- CHEMIN, mathématiques
- CONNEXE SIMPLEMENT
- CAUCHY THÉORÈME DE
- CONNEXE ESPACE
- DOMAINE, mathématiques
- CONNEXES COMPOSANTES
- DÉRIVATION COMPLEXE
- PRIMITIVE, analyse mathématique
- TRAJECTOIRE, mathématiques
- TAYLOR FORMULE DE
- OUVERT, mathématiques
- WEIERSTRASS THÉORÈME DE FACTORISATION DE
- CONVERGENCE UNIFORME
- DÉRIVATION, analyse mathématique