FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

La formule intégrale de Cauchy

Cette formule donne les valeurs d'une fonction analytique, sous forme d'une intégrale curviligne ; en particulier, elle traduit le fait que les valeurs d'une fonction analytique à l'« intérieur » d'une courbe sont déterminées par les valeurs prises sur la courbe. Nous aurons tout d'abord besoin de préciser une notion de caractère géométrique, le « nombre de fois » où une courbe fermée « tourne » autour d'un point.

L'indice

Soit γ : I = [a, b] → C un lacet et soit Ω le complémentaire de la trajectoire γ(I) de γ. Pour tout z ∈ Ω, on appelle indice du point z par rapport au lacet γ le nombre :

montrons que j(z ; γ) est toujours un entier relatif. Pour z ∈ Ω fixé, posons :

de telle sorte que j(z ; γ) = h(b)/2 iπ, par définition de l'intégrale curviligne le long de γ. Puisque e^w = 1 si et seulement si w/2 iπ est un entier (cf. exponentielle et logarithme, chap. 4), il suffit d'établir que e^-^h(b) = 1.

Posons :

puisque :

sauf en un nombre fini de points, on a :

ce qui montre que la fonction continue g est constante, sur[a, b]. En particulier, g(a) = g(b), d'où, puisque h(a) = 0 :

or γ(b) = γ(a), car γ est un lacet, ce qui établit le résultat.

Indice d'un point par rapport à un lacet - crédits : Encyclopædia Universalis France — Indice d'un point par rapport à un lacet
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La formule (23) montre facilement que, pour γ fixé, la fonction z ↦ j(z ; γ) est continue dans Ω ; puisqu'elle ne prend que des valeurs entières, elle est donc constante dans chaque composante connexe de Ω. D'autre part, si γ₁ et γ₂ sont deux lacets homotopes dans le complémentaire de z, il résulte du théorème de Cauchy que j(z ; γ₁) = j(z ; γ₂), puisque ζ ↦ 1/(ζ − z) est analytique dans C − {a} ; en particulier, si la trajectoire de γ est contenue dans un ouvert simplement connexe U, on a j(z ; γ) = 0 pour tout z ∉ U. Il en résulte que j(z ; γ) = 0 pour |z| assez grand et par suite dans toute la composante connexe non bornée de Ω = C − γ(I). Si γ : t ↦ e^int, n ∈ Z, est le cercle unité parcouru n fois, on a :

et par suite j(z ; γ) = n pour |z| < 1, puisque le disque unité est connexe ; puisque l'extérieur du disque unité est connexe, on a j(z ; γ) = 0 pour |z| > 1. De manière générale, l'indice exprime le nombre algébrique de fois où le point γ(t ) « tourne » autour de z lorsque t croît de a à b. Par exemple, sur la figure, on a j(u ; γ) = 1, j(v ; γ) = 3, j(w ; γ) = 2.

La notion d'indice permet, en introduisant une nouvelle définition, de définir le cadre exact du théorème de Cauchy. Soit U un ouvert du plan ; on dira que deux lacets γ et γ′ sont U-homologues si tout point du complémentaire de U a le même indice par rapport à ces deux lacets. Intuitivement, cela exprime que γ et γ′ « tournent » le même nombre de fois autour de tout point du complémentaire de U. On voit alors facilement que deux lacets homotopes dans U sont a fortiori U-homologues. Le théorème de Cauchy, sous sa forme la plus générale, que nous admettrons, affirme que, si γ et γ′ sont U-homologues, alors :

pour toute fonction f analytique dans U.

Formule intégrale de Cauchy

Soit γ un lacet dans un domaine simplement connexe U ; la formule intégrale de Cauchy exprime que, pour toute fonction f analytique dans U, on a :

pour tout point z de U n'appartenant pas à la trajectoire de γ.

En effet, on voit facilement sur le développement en série entière de f au voisinage de z que la fonction g définie par :

est analytique dans un voisinage de z, et, par suite, dans U tout entier. D'après le théorème de Cauchy (cf. chap. 4), l'intégrale curviligne de g le long de γ est donc nulle ; soit, puisque z n'appartient pas à la trajectoire de γ :

La formule de Cauchy est particulièrement intéressante[...]

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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