FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

Points singuliers isolés et résidus

On se propose ici, dans une première approche vers les points singuliers, d'étudier le comportement d'une fonction analytique dans un disque pointé 0 < |z − a| < r, c'est-à-dire dans un disque ouvert privé de son centre ; si f ne se prolonge pas en une fonction analytique dans le disque entier, on dira que a est un point singulier (isolé) pour f.

La série de Laurent

Un disque pointé 0<|z − a|<r est un cas particulier d'une couronne ouverte r₁<|z − a|<r₂ ; on va obtenir pour une fonction analytique dans une telle couronne S un développement en série généralisant le développement en série entière de centre a, valable seulement pour les fonctions analytiques dans tout un disque de centre a.

Série de Laurent - crédits : Encyclopædia Universalis France — Série de Laurent
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Il nous faut d'abord étendre la formule de Cauchy qui n'est pas applicable directement, puisque S n'est pas simplement connexe. Soit r et r′ tels que r₁< r < r′ < r₂ et soit γ et γ′ les cercles de centre a et de rayons r et r′ parcourus une fois dans le sens direct. On voit comme ci-dessus que, pour r < |z − a| < r′, la fonction g définie par :

est analytique dans S. Puisque les lacets γ et γ′ sont manifestement homotopes dans S, le théorème de Cauchy (cf. chap. 4) affirme que les intégrales de g le long de γ et γ′ sont égales. On a donc :

d'où, puisque j(z ; γ) = 1, j(z ; γ′) = 0,

qui généralise (24).

Remarquons alors que (en supposant, dans le calcul qui suit, a = 0 pour simplifier, ce qui ne retire aucune généralité), d'après le choix de z, r < |z| < r′, la série :

converge uniformément pour |u| = r′, car alors |u/z| = |z|/r′ < 1 ; on peut donc intégrer terme à terme sur γ′ et on obtient :

avec :

en fait, ces coefficients a_n ne dépendent pas de r′, car la fonction f (u)/uⁿ⁺¹ est analytique dans S et, par suite, d'après le théorème de Cauchy, on peut remplacer γ′ par n'importe quel cercle concentrique (contenu dans S) parcouru dans le sens direct, puisqu'il est homotope à γ′. Ainsi la série entière définie dans (29) converge pour tout z de module < r₂ ; donc elle a un rayon de convergence ≥ r₂ et, par suite, f₁ se prolonge en une fonction analytique pour |z| < r₂ (que nous désignerons encore par f₁). Remarquons qu'on aurait pu obtenir le résultat qui précède sans développer 1/(u − z) en série : d'après (25), la fonction f₁ définie par l'intégrale (29) est analytique pour |z| < r′ ; d'après le théorème 4 du chapitre 2 elle est donc développable en série entière et les intégrales (10) ne sont autres que des intégrales curvilignes du type (30) que l'on a explicitées en revenant à la définition. De même, la série :

converge uniformément pour |u|=r<|z| ; on peut donc l'intégrer terme à terme sur γ et on obtient :

par le même raisonnement que ci-dessus, on voit alors que ces coefficients ne dépendent pas de r pour r₁< r < r₂ et que la série de terme général a_-_nz^-ⁿ est convergente pour |z| > r₁. Sa somme, que nous désignerons encore par f₂, est donc une fonction analytique pour |z| > r₁.

Revenant au cas d'un point a ∈ C, énonçons les résultats précédents. Soit S une couronne r₁< |z − a| < r₂ ; toute fonction f analytique dans S peut s'écrire :

où la première série converge pour |z − a| > r₁ et la seconde pour |z − a| < r₂ ; leurs sommes sont donc des fonctions analytiques pour |z − a| > r₁ et |z − a| < r₂ respectivement. Pour tout n entier relatif, les coefficients a_n sont donnés par :

où γ est un cercle quelconque de centre a et de rayon r, r₁< r < r₂, parcouru une fois dans le sens direct.

Points singuliers[...]

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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