FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

Prolongement analytique

Logarithme complexe - crédits : Encyclopædia Universalis France — Logarithme complexe
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On se propose d'étudier ici la possibilité de prolonger une fonction f analytique dans un ouvert U à un ouvert plus grand. Pour tout point a ∈ U, la série de Taylor de f en a converge dans le plus grand disque ouvert D contenu dans U (cf. chap. 2) ; mais, comme on l'a déjà signalé ci-dessus, il se peut fort bien que le disque de convergence Δ de cette série « déborde » de U. La somme de la série dans Δ est alors une fonction analytique dans Δ qui, d'après le principe du prolongement analytique (cf. chap. 1), coïncide avec f dans la composante connexe de U ∩ Δ qui contient D. Cependant, si U ∩ Δ n'est pas connexe, on ne peut pas affirmer en général que f se prolonge en une fonction analytique dans U ∪ Δ. Prenons pour exemple, pour U, le plan complexe privé des nombres réels négatifs ou nul U = C − R^- et, pour f, la détermination principale du logarithme (cf. chap. 4). Pour z₀ = x₀ + iy₀, x₀< 0, y₀> 0, le disque de convergence de la série de Taylor de ln z en z₀ est le disque de centre z₀ qui passe par O, car la dérivée 1/z de ln z est analytique dans C* = C − {O}. Ici Δ ∩ U a deux composantes connexes et la somme de la série de Taylor en z₀ n'est pas égale à f (z) pour z ∈ Δ ∩ U, Im z < 0, car Im (ln z) = Arg z subit une discontinuité en « traversant » R^-∩ Δ, ce qui exclut la possibilité de prolonger f à U ∪ Δ. L'examen de ces phénomènes a priori surprenants conduit à des extensions de la notion de fonction analytique et aux surfaces de Riemann. Pour éviter des difficultés du type précédent, nous raisonnerons ici sur des disques, car l'intersection de deux disques est toujours connexe.

Points singuliers et points réguliers

Soit f une fonction analytique dans un disque ouvert D ; on dira qu'un point frontière u est un point régulier pour f s'il existe un disque ouvert D₁ de centre u et une fonction g analytique dans D₁ qui coïncide avec f dans D ∪ D₁. On peut alors prolonger f en une fonction analytique dans D ∪ D₁, d'après le principe du prolongement analytique. Dans le cas contraire, on dit que u est un point singulier pour f. Il est clair que les points réguliers forment un ouvert de la frontière de D.

Remarquons que le fait, pour u, d'être un point régulier ou singulier n'a rien à voir avec la nature de la convergence de la série de Taylor de f en u. Par exemple,

pour |z| < 1, est analytique dans D(0, 1), et tous les points du cercle |z| = 1, sauf le point z = 1, sont des points réguliers, bien que la série diverge en tout point de ce cercle. On peut montrer que, si D est le disque de convergence d'une série entière de somme f, il existe au moins un point singulier pour f, sur sa frontière, mais il se peut que tous les points frontières soient des points singuliers (séries « lacunaires ») ; on dit alors que D est le domaine naturel d'existence de la fonction, car, dans ce cas, on ne peut pas la prolonger en une fonction analytique dans un ouvert connexe plus grand.

Éléments analytiques

Pour étudier les problèmes posés par le prolongement analytique, nous introduirons une nouvelle notion due, sous cette forme, à Weierstrass.

On appelle élément de fonction analytique, ou, en abrégé, élément analytique de centre a le couple (a, S) d'un nombre complexe a et d'une série entière S (de centre a) de rayon de convergence strictement positif ; par abus de langage, on désignera encore par S, dans ce qui suit, la somme de la série S dans son disque de convergence. Par exemple, toute fonction analytique dans un ouvert U définit un élément analytique de centre a en tout point a ∈ U.

On dit que deux éléments analytiques (a, S) et (b, T) sont le prolongement analytique direct l'un de l'autre[...]

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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