FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

Théorèmes de décomposition

Théorème de factorisation de Weierstrass

La théorie de Weierstrass a pour objet de généraliser aux fonctions entières (c'est-à-dire analytiques dans tout le plan complexe) le théorème de d'Alembert-Gauss.

Les zéros non nuls d'une fonction entière peuvent être rangés en une suite (z_n), chaque zéro étant répété dans cette suite un nombre de fois égal à sa multiplicité, telle que |z_n| soit une suite croissante, car tout disque ne contient qu'un nombre fini de tels zéros.

D'une part, étant donné une telle suite (z_n), il existe une fonction entière F associée à cette suite de zéros. L'idée la plus simple consiste à poser :

mais ce produit ne converge que si la série Σ 1/|z_n| est convergente. Dans le cas général, il faut « corriger » le facteur (1 − z/z_n) par un facteur exponentiel. On est ainsi conduit à introduire les fonctions suivantes, dites facteurs primaires :

Il est alors possible de trouver une suite (p_n) d'entiers positifs tels que le produit infini :

soit normalement convergent sur tout compact de C, ce qui fournit une fonction qui convient.

Inversement, soit f une fonction entière, (z_n) la suite de ses zéros non nuls et k l'ordre de multiplicité de la racine 0. Alors, la fonction f/z^kF est une fonction entière qui ne s'annule pas, donc de la forme e^g, où g est entière.

Finalement, on a :

décomposition de f en facteurs primaires.

On peut étendre ce résultat à un ouvert U simplement connexe de C : Soit A un sous-ensemble discret (donc nécessairement dénombrable) de U et associons à chaque point a ∈ A une « multiplicité » n_a qui soit un entier positif ; on peut alors montrer qu'il existe une fonction analytique dans U dont les zéros sont exactement les points de A, avec les multiplicités correspondantes. Il en résulte que, si h est une fonction méromorphe dans U, alors elle peut s'écrire, dans U tout entier et non pas seulement localement, comme quotient de deux fonctions analytiques.

Théorème de Mittag-Leffler

La théorie de Mittag-Leffler a pour objet de généraliser aux fonctions méromorphes dans C la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles.

Soit f une fonction méromorphe dans C et (z_n) la suite de ses pôles distincts, y compris éventuellement 0, organisée par module croissant, et soit :

la partie principale relative au pôle z_n. Par un procédé correctif analogue à celui qui est employé dans le théorème de Weierstrass, on montre qu'il existe des polynômes Q_n tels que la série :

soit normalement convergente sur tout compact de C − S, où S est l'ensemble des pôles.

Dans ces conditions, la fonction :

est une fonction entière.

On peut étendre ce résultat à un ouvert quelconque de C.

Les théorèmes de Weierstrass et de Mittag-Leffler s'appliquent notamment aux développements eulériens des fonctions transcendantes élémentaires (cf. exponentielle et logarithme, chap. 5), au développement de la fonction gamma (cf. fonction gamma) et à la construction des fonctions elliptiques (cf. fonctions analytiques-Fonctions elliptiques et modulaire).

— Jean-Luc VERLEY

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Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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