FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe
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Théorèmes de décomposition
Théorème de factorisation de Weierstrass
La théorie de Weierstrass a pour objet de généraliser aux fonctions entières (c'est-à-dire analytiques dans tout le plan complexe) le théorème de d'Alembert-Gauss.
Les zéros non nuls d'une fonction entière peuvent être rangés en une suite (zn), chaque zéro étant répété dans cette suite un nombre de fois égal à sa multiplicité, telle que |zn| soit une suite croissante, car tout disque ne contient qu'un nombre fini de tels zéros.
D'une part, étant donné une telle suite (zn), il existe une fonction entière F associée à cette suite de zéros. L'idée la plus simple consiste à poser :
Il est alors possible de trouver une suite (pn) d'entiers positifs tels que le produit infini :
Inversement, soit f une fonction entière, (zn) la suite de ses zéros non nuls et k l'ordre de multiplicité de la racine 0. Alors, la fonction f/zkF est une fonction entière qui ne s'annule pas, donc de la forme eg, où g est entière.
Finalement, on a :
On peut étendre ce résultat à un ouvert U simplement connexe de C : Soit A un sous-ensemble discret (donc nécessairement dénombrable) de U et associons à chaque point a ∈ A une « multiplicité » na qui soit un entier positif ; on peut alors montrer qu'il existe une fonction analytique dans U dont les zéros sont exactement les points de A, avec les multiplicités correspondantes. Il en résulte que, si h est une fonction méromorphe dans U, alors elle peut s'écrire, dans U tout entier et non pas seulement localement, comme quotient de deux fonctions analytiques.
Théorème de Mittag-Leffler
La théorie de Mittag-Leffler a pour objet de généraliser aux fonctions méromorphes dans C la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles.
Soit f une fonction méromorphe dans C et (zn) la suite de ses pôles distincts, y compris éventuellement 0, organisée par module croissant, et soit :
Dans ces conditions, la fonction :
On peut étendre ce résultat à un ouvert quelconque de C.
Les théorèmes de Weierstrass et de Mittag-Leffler s'appliquent notamment aux développements eulériens des fonctions transcendantes élémentaires (cf. exponentielle et logarithme, chap. 5), au développement de la fonction gamma (cf. fonction gamma) et à la construction des fonctions elliptiques (cf. fonctions analytiques-Fonctions elliptiques et modulaire).
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
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