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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

Représentations intégrales

Si f est une fonction holomorphe dans un ouvert Ω de Cn contenant un produit U1 × U2 ×  ... × Un d'ouverts de C de frontières régulières orientées γ1, γ2, ..., γn, alors, pour tout z = (z1, z2, ..., zn), zk ∈ Uk, pour k = 1, 2, ..., n, on a la représentation intégrale de Cauchy :

malheureusement, la fonction f est exprimée à partir de ses valeurs sur l'ensemble produit γ1 × γ2 × ... × γn, et une hypersurface aussi simple qu'une sphère par exemple n'est pas un ensemble produit. On a donc cherché des représentations intégrales qui étendent l'intégrale de Cauchy et s'appliquent à des cas plus généraux : citons les intégrales de Cauchy- Weil, de Martinelli, de Hua-Bergman, de Cauchy-Fantappié-Leray.

L'intégrale introduite par André Weil en 1932 a joué un rôle important dans l'évolution de la théorie. Nous allons la décrire dans le cas de deux variables complexes, en passant sur les difficultés. On appelle polyèdre analytique une partie compacte d'un ouvert ω de C2 définie par un nombre fini d'inégalités :

où les f j sont des fonctions holomorphes dans ω. On peut alors montrer qu'il existe des fonctions D1,j(z, u), et D2,j(z, u), définies dans un ensemble ouvert ω × ω′, où ω′ est un ouvert de C2 contenant K et contenu dans ω, telles que :

Soit maintenant Si,j la partie de la frontière de K formée des points z tels que |f i(z)| = 1 et |f j(z)| = 1 ; on oriente Si,j d'une manière adéquate que l'on ne décrira pas ici. Si f est une fonction holomorphe dans ω, on a alors la formule :

pour tout point z intérieur à K. La validité de cette formule est très délicate à établir, parce qu'il faut montrer l'existence des fonctions D1,j et D2,j et que les surfaces Si,j ne sont pas régulières en général.

Décrivons maintenant l'intégrale de Leray, qui est particulièrement bien adaptée à l'étude de la transformation de Laplace. L'idée est de remplacer les points par des hyperplans. Soit K un ensemble convexe avec point intérieur. En tout point de la frontière de K, définissons un hyperplan ξ(u), dépendant continûment de u, qui ne rencontre pas l'intérieur du convexe ; lorsque u décrit la frontière de K, le point (u, ξ(u)) de l'espace C2 × G1, où G1 désigne l'espace des hyperplans de C2, décrit une « surface » S de dimension 3 que l'on oriente de façon convenable. On a alors :

où ξ0, ξ1 et ξ2 sont des fonctions continues de u, telles que :

On ne décrira pas les autres représentations intégrales ; notons que, dans l'espace des n variables complexes, il y a (n − 1) intégrales de Martinelli différentes, obtenues en intégrant sur des surfaces de dimensions réelles respectives n, n + 1, ..., 2n − 1. Dans le cas de deux variables, la première intégrale de Martinelli se confond avec l'intégrale de Weil et la seconde, après un changement de variable, avec l'intégrale de Leray.

Les représentations intégrales jouent un rôle très important dans certaines applications de la théorie des fonctions holomorphes, par exemple dans la théorie quantique des champs telle qu'elle a été développée à partir des travaux du physicien américain Wightmann.

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  • : professeur à la faculté des sciences de Nice
  • : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

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