FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

Les problèmes de Cousin

L'idée initiale remonte à H. Poincaré et ces problèmes ont été résolus, dans le cas particulier d'un polydisque, par J. Cousin dès 1895. La situation n'a plus évolué pendant près de quarante ans jusqu'aux travaux d'Oka ; les démonstrations d'Oka pour les domaines d'holomorphie ont été un pas important vers la théorie de Cartan-Serre.

Dans le cas d'une variable, on dit qu'une « fonction » est méromorphe dans un ouvert si elle n'a que des pôles ; on peut d'ailleurs l'interpréter comme une vraie fonction holomorphe à valeurs dans l'espace projectif. Dans le cas de plusieurs variables, on appellera fonction méromorphe dans un ouvert U la donnée d'une famille (U_i) d'ouverts, de réunion U, et dans chaque ouvert U_i d'une « fonction » f _i/g_i où f _i et g_i sont holomorphes dans U_i ; on suppose de plus que, dans chaque ouvert non vide de la forme U_i∩ U_j, on a f_i/g_i = f_j/g_j, c'est-à-dire f_ig_j − f_jg_i = 0.

Étendons à plusieurs variables le problème de Mittag-Leffler qui consiste à déterminer dans le plan une fonction méromorphe admettant un système de développements polaires donnés. On peut le formuler ainsi : Soit un ouvert U réunion de polydisques ouverts U_i ; on se donne dans chaque U_i une fonction méromorphe f_i/g_i de telle sorte que f_i/g_i − f_j/g_j soit holomorphe dans U_i∩ U_j quels que soient i et j ; alors il existe une « fonction » méromorphe admettant le système polaire donné, c'est-à-dire qu'il existe des fonctions f ′ _i , g ′ _i holomorphes dans U_i telles que :

soit holomorphe dans U_i et :

dans U_i∩ U_j. Posons pour cela :

ce système de fonctions holomorphes t_i,j satisfait aux identités :

dans U_i∩ U_j et :

dans U_i∩ U_j∩ U_k. On montre alors, sous ces hypothèses générales (c'est-à-dire sans supposer que les fonctions holomorphes t_i_,_j proviennent de la donnée de parties polaires), qu'il existe des fonctions t_i holomorphes dans U_i telles que t_i_,_j = t_i − t_j dans U_i∩ U_j ; la « fonction » méromorphe cherchée est alors obtenue en posant :

Pour étendre à plusieurs variables le théorème classique de Weierstrass sur l'existence d'une fonction entière ayant des zéros donnés, il est indispensable d'introduire une nouvelle notion. Soit U un ouvert de Cⁿ ; on dit qu'un ensemble F ⊂ U fermé dans U est un ensemble analytique dans U s'il existe une famille d'ouverts U_i de réunion U et dans chaque U_i un nombre fini de fonctions holomorphes f _i_,₁, f _i_,₂, ..., f _i_,_n (n dépend de i) tels que la trace F ∩ U_i de F sur U_i soit exactement l'ensemble des zéros communs aux fonctions f _i_,₁, ..., f _i_,_n. Dans le cas où U est un ouvert d'holomorphie, on montre alors (théorème de H. Cartan) que F peut être défini par des équations globales, c'est-à-dire qu'il est l'ensemble des zéros d'un système d'équations g_k(z) = 0, pour k = 1, 2, ..., n où g_k est holomorphe dans U. On déduit de ce résultat que, dans un ouvert d'holomorphie U, toute fonction méromorphe peut s'écrire globalement f/g, où f et g sont holomorphes dans U tout entier.

À une variable, la théorie de Weierstrass s'affine dans le cas des fonctions d'ordre fini, c'est-à-dire telles que :

l'extension à plusieurs variables des résultats d'Hadamard-Lindelöf a tenté les mathématiciens. La première difficulté est dans la nature des zéros qui sont en général des ensembles analytiques « avec singularités ». Considérons par exemple le polynôme z²₁ + z²₂ ; pour z₁≠ 0, on a une représentation paramétrique de l'ensemble des zéros z₂ = ζ ou z₂ = − ζ qui est régulière pour |ζ − z₁| < |z₁| ; mais il n'existe pas de telle représentation[...]

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Écrit par

André MARTINEAU : professeur à la faculté des sciences de Nice
Henri SKODA : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

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