FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

Variétés et espaces analytiques

Un des sommets de la théorie des fonctions d'une variable complexe est l'étude des surfaces de Riemann et leur uniformisation par les fonctions automorphes de Klein-Poincaré. Les fonctions automorphes de plusieurs variables relèvent plus naturellement de la théorie des groupes de Lie (cf. groupes – Groupes de Lie) tandis que les surfaces de Riemann trouvent leur extension dans les notions de variété et d'espace analytiques que nous allons introduire ici.

Soit X un espace topologique séparé. Une structure d'espace annelé sur X est définie par la donnée, pour chaque ouvert U de X, d'un anneau A(U) et, pour toute paire U, V d'ouverts tels que V ⊂ U, d'un homomorphisme d'anneau :

pour f ∈ A(U), on dira que j_V_,_U(f ) est la restriction de f à V. On impose aux homomorphismes donnés d'être compatibles, c'est-à-dire que, si W ⊂ V ⊂ U, on doit avoir :

et de satisfaire à la condition de recollement suivante. Soit (U_a) une famille d'ouverts de réunion U et supposons donné, pour tout a, un élément f _a∈ A(U_a) de telle sorte que, quels que soient a et b, les restrictions de f _a et f _b à U_a∩ U_b soient égales ; la condition de recollement exprime qu'il existe alors un élément f ∈ A(U) unique dont la restriction à chaque U_a soit f _a. Cette condition de recollement est la formalisation abstraite de l'idée que les éléments des anneaux A(U) sont caractérisés par des propriétés de nature « locale ».

Par exemple, dans X = Cⁿ, pour tout ouvert U, soit A(U) l'anneau (pour l'addition et la multiplication usuelles) des fonctions holomorphes dans U, et, pour V ⊂ U, soit j_V,_U l'application qui, à toute fonction holomorphe dans U, fait correspondre sa restriction à V au sens usuel ; on obtient ainsi ce qu'on appelle la structure analytique de Cⁿ.

Dans tout ce qui suit, on supposera toujours que les anneaux A(U) sont des anneaux de fonctions à valeurs complexes continues dans U et que j_V,_U est la restriction au sens usuel.

Soit X et Y deux espaces annelés. On dit qu'une application continue :

est un morphisme d'espace annelé si, pour tout ouvert V de Y, l'ensemble des fonctions, définies dans l'ouvert U = p^-1(V), de la forme g ∘ p, g ∈ A(V), est un sous-anneau de A(U). Soit, par exemple, Ω un ouvert de Cⁿ muni de la structure d'espace annelé obtenue en prenant pour A(U), U ouvert de Ω, l'anneau des fonctions holomorphes dans U ; l'application identique de Ω dans Cⁿ est un morphisme analytique et on dit que Ω est muni de la structure induite par Cⁿ. Si p est une bijection et si la bijection réciproque p^-1 : Y → X est aussi un morphisme d'espaces annelés, on dira que p est un isomorphisme d'espaces annelés.

Une variété analytique complexe X est, par définition, un espace annelé (dans lequel les anneaux A(U) sont des anneaux de fonctions continues dans U ; cf. infra) qui est localement isomorphe à un ouvert de Cⁿ, c'est-à-dire que, pour tout point x ∈ X, il existe un ouvert ω_x⊂ X contenant x, un ouvert Ω_x⊂ Cⁿ et une bijection :

qui soit un isomorphisme analytique de ω_x, muni de sa structure d'espace annelé induite, sur Ω_x. Avec cette notion, on peut donner une définition correcte d'un ouvert étalé sur Cⁿ (cf. chap. 4) ; c'est la donnée du couple (V, p) d'une variété analytique V et d'un morphisme p : V → Cⁿ qui est localement un isomorphisme.

Soit F un ensemble analytique d'un ouvert Ω de Cⁿ (cf. chap. 5). Par définition, on dit alors qu'une fonction f à valeurs complexes définie dans un ouvert de F est holomorphe si, pour tout point z de cet ensemble, on peut trouver un polydisque P_z de centre z et une fonction g_z, holomorphe dans ce polydisque, dont la restriction à P_z∩ F soit[...]

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Écrit par

André MARTINEAU : professeur à la faculté des sciences de Nice
Henri SKODA : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études

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