FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes
La d″-cohomologie
Dans un certain nombre de cas particuliers, problème de Cousin par exemple, le passage du local au global se ramène au problème de calcul intégral développé par Dolbeault.
Considérons ici seulement le cas d'un ouvert de Cn. On prend comme base de l'espace des différentielles :
L'opérateur d de différenciation extérieure est somme de deux opérateurs, d = d′ + d″, où :
On doit ces dernières années à Hörmander la démonstration directe de ce résultat par des méthodes d'espace de Hilbert qui permettent, de plus, d'estimer la croissance des coefficients de la forme différentielle π en fonction de ceux de ω (cohomologie à croissance). Ces résultats permettent d'abréger beaucoup la démonstration du théorème de pseudo-convexité d'Oka (cf. chap. 4).
La théorie des fonctions de variables complexes, au même titre que l'arithmétique par exemple, est centrale dans la mathématique, et les problèmes qu'elle est amenée à considérer sont, en un certain sens, irréductibles. Mais les structures qui interviennent sont très compliquées, car on considère à chaque instant des couches superposées de structures algébriques et topologiques mélangées.
C'est sans doute dans une telle situation que l'unité de langage introduite par N. Bourbaki manifeste son importance car, grâce à elle, les branches les plus diverses des mathématiques contemporaines ont contribué à l'édification de la théorie. Inversement, ses progrès ont été déterminants dans l'évolution des idées contemporaines ; ainsi, c'est après sa greffe réussie sur les variables complexes que la théorie des faisceaux est devenue un outil aussi général et indispensable. Mais cette histoire n'est pas finie...
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Écrit par
- André MARTINEAU : professeur à la faculté des sciences de Nice
- Henri SKODA : professeur à l'université de Paris-VI, directeur d'études à l'Ecole pratique des hautes études
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