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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire

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Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xixe siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la théorie plus générale des fonctions algébriques, du domaine de l'algèbre et de la géométrie algébrique. Généralisées par H. Poincaré, qui a étudié les fonctions « fuchsiennes », elles sont aussi à l'origine de la théorie des fonctions automorphes. Il s'agit là de deux branches très actives des mathématiques contemporaines, qui utilisent simultanément des techniques d'analyse et d'algèbre très élaborées.

Intégrales circulaires et elliptiques

Le calcul intégral classique montre qu'une intégrale de la forme :

où P(x) est un polynôme du 2e degré sans racine double, se calcule à l'aide de fonctions dites élémentaires, c'est-à-dire circulaires ou hyperboliques. Posons par exemple :
  si x et t sont réels, ils doivent être compris entre ± 1, et l'on a u = Arc sin x, dont la fonction inverse est x = sin u ; comme u reste compris entre ± π/2, la période 2 π de cette fonction inverse n'apparaît pas si l'on prend x et t réels.

Mais prenons-les complexes : si ω est l'ensemble des points du plan dont l'affixe est non réel ou réel strictement compris entre ± 1, la fonction :

a une détermination holomorphe sur ω, valant 1 à l'origine, qui à son tour a une primitive u(x) holomorphe sur ω et nulle à l'origine. Quand x varie dans ω le long de la partie [1, + ∞ [ (resp.] − ∞, − 1]) de la frontière, au-dessus ou au-dessous, u décrit la droite Re u = π/2 (resp. − π/2) au-dessus ou au-dessous de l'axe réel. De la formule intégrale de Cauchy (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 5) résulte alors une correspondance conforme biunivoque entre x décrivant ω et u décrivant la bande δ définie par :

Le principe de symétrie de Schwarz (cf. fonction analytique - Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 4) permet de prolonger cette correspondance par symétrie par rapport aux frontières rectilignes de ω et δ : après ce prolongement, à deux valeurs de u symétriques par rapport à l'une des droites Re u = ± π/2 correspondent deux valeurs de x symétriques par rapport à l'axe réel, donc à deux valeurs de u différant de 2 π correspond la même valeur de x. Ainsi l'inversion de l'intégrale circulaire :

effectuée dans le champ complexe, donne une fonction de période 2 π, qui, d'autre part, est évidemment solution de l'équation différentielle :

Ce raisonnement, dont le principe est de Carl Jacobi (1804-1851), s'applique aussi à l' intégrale elliptique :

où P est le degré 3 ou 4, sans racine double. Prenons par exemple :
Cette intégrale a une détermination holomorphe sur ω, positive sur la partie ]α, + ∞[ de la frontière. Cette détermination, à son tour, a une primitive u(x) holomorphe sur ω et nulle à l'infini. Quand x varie dans ω le long de la frontière, passant successivement par + ∞, α, β, γ, − ∞, u décrit le périmètre 0, a, b, c, 0 d'un rectangle, où a et ic sont réels < 0 ; comme dans le cas précédent, la correspondance conforme biunivoque, entre x décrivant ω et u décrivant l'intérieur δ de ce rectangle, se prolonge par symétrie par rapport aux frontières rectilignes de ω et δ. Après ce prolongement, x prend la même valeur en deux points u symétriques par rapport à l'un des sommets du rectangle, donc admet un groupe (additif) de périodes engendré par τ = 2 a, τ′ = 2 ic, dont le rapport est imaginaire pur.[...]

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