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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire

Propriétés générales des fonctions analytiques uniformes admettant un groupe de périodes donné G

Le cas intéressant est celui qu'on vient de rencontrer, où G est engendré par deux périodes τ, τ′ dont le rapport n'est pas réel. Une fonction holomorphe ou méromorphe (c'est-à-dire quotient de deux fonctions holomorphes) sur le plan complexe C, admettant le groupe de périodes G, peut être restreinte à un parallélogramme de périodes de sommets u, u + τ, u + τ′, u + τ + τ′, sur lequel elle prend toutes ses valeurs, ou bien considérée comme une fonction holomorphe ou méromorphe sur la variété compacte connexe C/G.

D'après le principe du maximum, cette fonction ne peut être holomorphe sans être constante ; on appellera donc G-elliptique une fonction f méromorphe sur C admettant le groupe de périodes G, ou bien méromorphe sur C/G. Si f prend la valeur x aux points w1(x), ..., wn(x) de C/G (points distincts sauf pour une nombre fini de valeurs de x), on montre que l'entier n ne dépend pas de x, c'est l'ordre de la fonction f ; d'après la formule intégrale de Cauchy prise le long du périmètre d'un parallélogramme de périodes, les images réciproques dans C des points wj(x), déterminées chacune modulo G, ont une somme indépendante (modulo G) de x. Une application géométrique de cette propriété est donnée dans l'article courbes algébriques, chapitre 7. Il résulte d'autre part que l'ordre de f est au moins 2.

Soit maintenant g une autre fonction G-elliptique, prenant les valeurs yj(x) aux points wj(x) ; le développement de :

est un polynôme en g de degré n dont les coefficients sont des fonctions rationnelles 1, r1(x), ..., rn(x) ; on a donc, entre les deux fonctions G-elliptiques quelconques f et g, la relation algébrique :

En particulier, f et sa dérivée f ′ sont liées par une relation algébrique : toute fonction G-elliptique est solution d'une équation différentielle algébrique.

Soit encore h une fonction G-elliptique, prenant les valeurs zj(x) aux points wj(x) ; le développement de :

est encore un polynôme en g, cette fois de degré < n, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles s1(x), ..., sn(x) ; on a donc, entre les trois fonctions G-elliptiques f, g, h, la relation algébrique :
d'où l'on peut tirer h en fonction rationnelle de f et g pourvu que P′g(f, g) ≠ 0. Ainsi les fonctions G-elliptiques sont exactement les fonctions rationnelles de deux d'entre elles, f et g, choisies de manière que, pour un x convenable, une valeur yj(x) soit distincte de toutes les autres. Les raisonnements de cet alinéa et du précédent peuvent être faits sur une variété compacte quelconque.

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