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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire

Les fonctions de Weierstrass

L'ordre d'une fonction G-elliptique étant au moins 2, on en cherche une d'ordre 2 : la somme de la série de terme général 1/(u − τ)2, pour τ ∈G, répondrait à la question si elle avait un sens ; une légère modification, dont le seul but est d'assurer la convergence nécessaire, donne la fonction de Karl Weierstrass (1815-1897), notée par lui d'un p gothique :

C'est une fonction paire et G-elliptique d'ordre 2, car l'origine en est un pôle double, et le seul pôle modulo G ; au voisinage de l'origine, on a :

avec :

Du développement (2), il résulte que :

est holomorphe et nulle à l'origine, d'où la formule fondamentale :
prouvant que x =  (u) est fonction inverse de l'intégrale elliptique :
considérée au chapitre 1, ou encore que x = p(u), y = p′(u) est une représentation paramétrique de la cubique :
qui, pour cette raison, est dite elliptique (cf. courbes algébriques, chap. 7).

Aux deux points de C/G, où p prend une valeur donnée x, p′ prend des valeurs opposées ; par suite (cf. chap. 2), les fonctions G-elliptiques sont exactement les fonctions rationnelles de p et p′. De la formule de Weierstrass :

résultent, d'abord, une relation algébrique entre p(u), p(v), p(u + v), puis une relation algébrique entre f (u), f (v), f (u + v) pour une fonction G-elliptique quelconque f. Le problème de Weierstrass est la recherche des fonctions f analytiques uniformes ayant cette propriété : ce sont les fonctions rationnelles de la variable ou de l'exponentielle, et les fonctions elliptiques.

Les autres fonctions de Weierstrass attachées à G, ζ et σ, respectivement méromorphe et holomorphe partout, ne sont pas G-elliptiques, mais sont liées à p par les formules :

elles permettent d'exprimer toute fonction G-elliptique d'ordre n soit en combinaison linéaire de n fonctions dérivées de translatées de ζ, soit comme quotient du produit de n translatées de σ par le produit de n autres translatées de σ.

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