FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire

Les fonctions de Jacobi

Les développements en séries de p et ζ, en produit infini de σ, convergent lentement : si l'on garde seulement les termes ou facteurs correspondant aux périodes τ de modules ≤ k, l'erreur commise est de l'ordre de 1/k ; le calcul numérique exige une convergence plus rapide, au moins celle d'une série géométrique, qu'on obtient en formant d'autres fonctions.

Choisissons un couple de périodes τ, τ′ engendrant le groupe G : le rapport τ′/τ n'étant pas réel, on peut supposer sa partie imaginaire > 0, et, de plus, aussi grande que l'on veut, pour que le développement (6) ci-dessous converge plus vite ; alors λ = exp (πiτ′/τ) est le module < 1, aussi petit que l'on veut. On note :

somme portant sur tous les entiers k : c'est une fonction holomorphe partout, impaire, vérifiant :

elle ne dépend que des rapports τ′/τ et u/τ.

Par suite, la fonction méromorphe paire :

admet les demi-périodes τ et τ′, et la fonction méromorphe impaire :

admet la demi-période τ et la période τ′ ; on obtient les fonctions 2 G-elliptiques (2 G-homothétique de G dans le rapport 2) cn u et sn u en les multipliant respectivement par des constantes telles que cn 0 = sn τ/2 = 1. La notation de ces nouvelles fonctions rappelle celle des fonctions circulaires cos et sin en raison de certaines analogies : ainsi cn²u + sn²u = 1 ; comme ces fonctions ne dépendent que des rapports τ′/τ et u/τ on peut choisir τ en fonction de τ′/τ de manière que les développements de Maclaurin commencent par :

où k² ne dépend que de τ′/τ ; sn u est alors solution de l'équation différentielle :

donc s'obtient aussi par inversion de l'intégrale elliptique de Legendre :

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Écrit par

Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI

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