FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire

La fonction modulaire

Les formules (3) associent au groupe G les nombres g₂ et g₃, appelés invariants de G ; on peut en effet les considérer comme fonctions d'un couple τ, τ′ de périodes engendrant G, et ces fonctions sont inchangées quand on remplace le couple τ, τ′ par un autre couple engendrant G, donc par un couple aτ + bτ′, cτ + dτ′, où a, b, c, d sont des entiers tels que ad − bc = 1.

En outre, le rapport g₂³/g₃² est conservé par une homothétie sur G, donc est fonction du rapport ζ = τ/τ′ des deux périodes engendrant G, fonction inchangée quand on effectue sur la variable ζ une subtitution modulaire :

La fonction modulaire J est celle qui à ζ = τ/τ′ fait correspondre :

elle n'a de sens que pour ζ non réel, c'est pourquoi on la considère sur le demi-plan supérieur Im ζ < 0, où elle est holomorphe ; elle est invariante par les substitutions modulaires, en particulier par la translation ζ ↦ ζ + 1. C'est donc aussi, pour |w| < 1, une fonction holomorphe de w = exp (2 πiζ), à savoir :

Domaine du groupe modulaire - crédits : Encyclopædia Universalis France — Domaine du groupe modulaire
Encyclopædia Universalis France

Le groupe modulaire, formé des substitutions modulaires, opérant sur le demi-plan supérieur, admet le domaine fondamental Δ défini par les inégalités :

cela veut dire que les images de Δ par les substitutions modulaires (la figure en indique quelques-unes) sont deux à deux disjointes tandis que les images de Δ− (réunion de Δ et sa frontière) couvrent le demi-plan. La jonction J réalise une bijection holomorphe de Δ sur l'ensemble des points du plan dont l'affixe est non réel ou réel > 1.

En particulier, la dérivée J′ ne s'annule qu'aux points i et j de la frontière de Δ, où J prend les valeurs 1 et 0 respectivement, et aux points images des précédents par les substitutions modulaires ; par suite, la fonction analytique multiforme inverse de J, dont les valeurs appartiennent au demi-plan supérieur, se prolonge analytiquement le long de tout chemin, tracé dans le plan, évitant les points 0 et 1.

De là résulte que, pour les fonctions holomorphes omettant deux valeurs distinctes, donc aussi pour les fonctions méromorphes omettant trois valeurs distinctes, on retrouve certaines propriétés des fonctions holomorphes à valeurs dans un demi-plan ou, ce qui revient au même par composition avec une homographie, des fonctions holomorphes bornées. Ainsi, du fait qu'une fonction non rationnelle, méromorphe partout, ne peut être bornée sur le complémentaire X d'un disque (théorème assez élémentaire, qui est dû à Liouville), on déduit, grâce à la fonction modulaire, qu'une telle fonction ne peut omettre trois valeurs sur X (ce dernier théorème, beaucoup plus profond, est dû à Picard).

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Écrit par

Michel HERVÉ : professeur à l'université de Paris-VI

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