FONCTIONS ANALYTIQUES Représentation conforme
La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator (xvie siècle). Au début du xixe siècle, Carl Friedrich Gauss étudia systématiquement les propriétés intrinsèques des surfaces de l'espace habituel ; en particulier, il examina les applications bijectives d'une surface sur une autre qui sont différentiables, ainsi que leur réciproque, et qui conservent les angles. La notion de représentation conforme reçut un nouvel éclairage avec l'avènement de la théorie des fonctions d'une variable complexe, à laquelle elle est intimement liée. Bernhard Riemann sut exploiter cette relation de façon particulièrement féconde, introduisant la notion de surface de Riemann, qui résout les difficultés dues aux « fonctions multiformes » et donne un cadre convenable à la théorie du prolongement analytique. Cette théorie pose un certain nombre de problèmes topologiques qui ont conduit Bernhard Riemann et Henri Poincaré à développer les premières bases de la topologie algébrique.
Définition
La représentation conforme
Conservation des angles
Encyclopædia Universalis France
Considérons un domaine D du plan R2. On dit qu'une application différentiable f de D dans R2 est conforme en un point z0 de D si sa dérivée (ou application linéaire tangente) D1 f (z0) en z0 conserve les angles orientés (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables). En convenant que l'angle en z0 de deux chemins différentiables γ1 et γ2 passant par z0 est l'angle de leurs tangentes en z0, on voit que cette condition revient à la suivante : l'angle orienté en f (z0) des chemins images f ∘ γ1 et f ∘ γ2 est égal à l'angle orienté de γ1 et γ2 en z0, quels que soient les chemins γ1 et γ2 différentiables passant par z0.
On sait qu'une application linéaire du plan dans lui-même, qui conserve les angles orientés est une similitude directe de centre O. Ainsi, la conformité de f en z0 signifie que l'application linéaire tangente D1f (z0) est une similitude directe. Il est très commode de représenter les similitudes à l'aide de la multiplication des nombres complexes. Dans la suite, on considérera que le plan est le corps des nombres complexes C, et l'on écrira x + iy pour le point (x, y) du plan (cf. nombrescomplexes) ; une similitude directe de centre O est alors une application de la forme z ↦ az, où a est un nombre complexe non nul dont le module et l'argument sont respectivement le rapport et l'angle de la similitude ; dans la base canonique (1, i) de C sur R, la matrice de la similitude considérée s'écrit :
Dire que f est conforme en z0 revient donc à dire que sa dérivée est de la forme h ↦ ah, avec a ∈ C, a ≠ 0 ; par conséquent, le rapport :
Ainsi toute fonction holomorphe f dans D, dont la dérivée ne s'annule pas, est conforme en tout point de D. Or on peut montrer que l'image d'une partie ouverte de C par une fonction holomorphe non constante est ouverte ; l'image du domaine D par une fonction holomorphe non constante f est donc un domaine f (D). De plus, si f est injective (on dit quelquefois univalente), sa dérivée ne s'annule pas ; f définit une bijection de D sur [...]
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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
Classification
Médias
Conservation des angles
Encyclopædia Universalis France
Représentation z ↦ z2
Encyclopædia Universalis France
Représentation z ↦ z1/2
Encyclopædia Universalis France
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