FONCTIONS ANALYTIQUES Représentation conforme

Le problème de la représentation conforme

Étant donné des domaines D et D′ du plan, sont-ils conformément équivalents ? Dans l'affirmative, il s'agira de construire, au moins d'une manière approchée, une représentation conforme de D sur D′. Ce problème a des applications en diverses questions de physique (par exemple en hydrodynamique), car il permet de résoudre certains problèmes de Dirichlet : pour trouver une fonction harmonique u, connaissant une courbe u = a (constante, qui est la frontière d'un domaine D conformément équivalent au demi-plan supérieur, on utilise une représentation conforme f de D sur le demi-plan supérieur ; si f se prolonge par continuité à la frontière de D et transforme cette frontière en celle du demi-plan, soit la droite Im z = 0, la solution est u = Im (f + a).

Si les domaines D et D′ sont conformément équivalents, ils sont homéomorphes, c'est-à-dire qu'il existe une bijection continue de D sur D′ dont la réciproque est aussi continue. Ainsi est réalisée une condition nécessaire d'isomorphisme ; mais cette condition n'est pas suffisante, car le plan C et le disque unité sont homéomorphes (l'application z ↦ z/(1 + |z|) est un homéomorphisme du premier sur le second), mais certainement pas isomorphes, puisque la fonction z ↦ z est holomorphe et bornée dans le disque unité, alors que toute fonction holomorphe et bornée dans C est constante d'après le théorème de Liouville (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe).

D'ailleurs, comme on l'a vu ci-dessus, une grande variété de domaines sont conformément équivalents au disque unité : le demi-plan, un secteur angulaire, une bande ou une demi-bande, l'extérieur d'une parabole. En fait, Riemann a obtenu (par une démonstration un peu incomplète) le remarquable résultat suivant : Tout domaine D différent du plan C et simplement connexe (c'est-à-dire que tout lacet de D peut se déformer continûment dans D en un point) est conformément équivalent au disque unité.

Ce théorème a été complètement démontré par W. F. Osgood, puis par P. Koebe, qui l'a généralisé en donnant aussi des modèles pour les domaines non simplement connexes à l'aide du disque unité privé d'un certain nombre d'arcs de cercles de centre O. Voici les étapes de la démonstration :

a) On commence par se ramener au cas où D est borné en construisant une fonction holomorphe bornée et injective dans D (c'est assez facile). Il est alors possible de trouver des représentations conformes de D sur des domaines contenus dans le disque unité (à l'aide de similitudes, par exemple).

b) En choisissant un point a de D et en considérant l'ensemble F des représentations conformes de D sur des parties du disque unité qui transforment a en O, on démontre que, pour un élément f de F, les propriétés suivantes sont équivalentes : (I) L'image de D par f est le disque unité. (II) |f ′(a)| est maximale parmi les valeurs que ce nombre peut prendre lorsque f parcourt F.

c) Il reste à démontrer l'existence d'un élément f de F qui réalise le maximum de |f ′(a)|. Cela résulte du fait que F est un ensemble compact pour la « topologie de la convergence compacte » dans D et que f ↦ |f ′(a)| est une fonction numérique continue dans F.

En général, on ne peut pas déterminer explicitement une représentation conforme de D sur le disque unité, mais seulement chercher à construire des approximations d'une telle représentation ; c'est un problème d'analyse numérique qui peut être difficile. La méthode de H. A.  Schwarz donne explicitement une représentation conforme du demi-plan supérieur sur un polygone convexe arbitraire par une formule du type :

où les nombres a_i sont réels et les exposants α_i compris entre 0 et 1 et de somme 2 ; pour n = 4 et α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = 1/2, l'intégrale considérée est une intégrale elliptique et donne une représentation conforme du demi-plan sur un rectangle (cf. fonctions analytiques – Fonctions elliptiques et modulaire).

Il est possible de déterminer toutes les représentations conformes du plan sur lui-même ou du disque unité sur lui-même. Dans le cas du plan, une représentation conforme f : C → C est une fonction entière qui est injective ; cela entraîne d'abord que f est un polynôme, sinon la fonction u ↦ f (1/u) aurait une singularité essentielle à l'origine et transformerait le disque unité (privé de O) en un ensemble partout dense dans C d'après un théorème de Weierstrass ; ainsi, l'image par f de l'extérieur du disque unité serait partout dense et, par suite, rencontrerait l'image du disque unité, qui est un ouvert : c'est impossible si f est injective. De plus, f doit être de degré 1, car un polynôme de degré n a n racines ; donc f est de la forme f (z) = az + b (a ≠ 0) et la représentation conforme est une similitude. Il est remarquable que les transformations du plan en lui-même qui conservent les angles conservent la distance euclidienne à un facteur près ; ces transformations forment un groupe à quatre paramètres, opérant transitivement.

Passons au cas du disque unité, en étudiant d'abord les automorphismes laissant fixe le point O. Un tel automorphisme est en particulier une fonction holomorphe f telle que f (0) = 0 et |f (z)| < 1 pour tout point z du disque unité ; le lemme de Schwarz lui est applicable : |f (z)| ≤ |z|, avec égalité seulement si f (z) est proportionnel à z (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe) ; le même lemme appliqué à f^-1 donne |z| ≤ |f (z)|, donc l'égalité a lieu et f (z) = az avec une constante a de module 1. Si f est un automorphisme quelconque du disque unité, on pose b = f^-1(0). L'application :

est une représentation conforme du disque sur lui-même qui transforme 0 en b. Donc f ∘ g, qui est conforme et laisse O fixe, est une rotation z ↦ az(|a| = 1), et :

Les automorphismes du disque unité sont ainsi les transformations homographiques qui le laissent invariant ; ils forment un groupe à trois paramètres transitif dans le disque unité. On peut montrer qu'il existe une métrique riemannienne dans le disque unité qui est invariante par ce groupe ; sa courbure est constante et négative de sorte que la géométrie correspondante est celle de N. I. Lobatchevsky (c'est le fameux modèle de Poincaré pour la géométrie non euclidienne).

Les résultats obtenus pour le disque unité se transposent au demi-plan. Comme le passage de l'un à l'autre s'opère au moyen d'une transformation homographique, les automorphismes du demi-plan supérieur sont les transformations homographiques qui le laissent invariant :

avec a, b, c, d réels et ad − bc > 0.