FONCTIONS ANALYTIQUES Représentation conforme
Le problème de la représentation conforme
Étant donné des domaines D et D′ du plan, sont-ils conformément équivalents ? Dans l'affirmative, il s'agira de construire, au moins d'une manière approchée, une représentation conforme de D sur D′. Ce problème a des applications en diverses questions de physique (par exemple en hydrodynamique), car il permet de résoudre certains problèmes de Dirichlet : pour trouver une fonction harmonique u, connaissant une courbe u = a (constante, qui est la frontière d'un domaine D conformément équivalent au demi-plan supérieur, on utilise une représentation conforme f de D sur le demi-plan supérieur ; si f se prolonge par continuité à la frontière de D et transforme cette frontière en celle du demi-plan, soit la droite Im z = 0, la solution est u = Im (f + a).
Si les domaines D et D′ sont conformément équivalents, ils sont homéomorphes, c'est-à-dire qu'il existe une bijection continue de D sur D′ dont la réciproque est aussi continue. Ainsi est réalisée une condition nécessaire d'isomorphisme ; mais cette condition n'est pas suffisante, car le plan C et le disque unité sont homéomorphes (l'application z ↦ z/(1 + |z|) est un homéomorphisme du premier sur le second), mais certainement pas isomorphes, puisque la fonction z ↦ z est holomorphe et bornée dans le disque unité, alors que toute fonction holomorphe et bornée dans C est constante d'après le théorème de Liouville (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe).
D'ailleurs, comme on l'a vu ci-dessus, une grande variété de domaines sont conformément équivalents au disque unité : le demi-plan, un secteur angulaire, une bande ou une demi-bande, l'extérieur d'une parabole. En fait, Riemann a obtenu (par une démonstration un peu incomplète) le remarquable résultat suivant : Tout domaine D différent du plan C et simplement connexe (c'est-à-dire que tout lacet de D peut se déformer continûment dans D en un point) est conformément équivalent au disque unité.
Ce théorème a été complètement démontré par W. F. Osgood, puis par P. Koebe, qui l'a généralisé en donnant aussi des modèles pour les domaines non simplement connexes à l'aide du disque unité privé d'un certain nombre d'arcs de cercles de centre O. Voici les étapes de la démonstration :
a) On commence par se ramener au cas où D est borné en construisant une fonction holomorphe bornée et injective dans D (c'est assez facile). Il est alors possible de trouver des représentations conformes de D sur des domaines contenus dans le disque unité (à l'aide de similitudes, par exemple).
b) En choisissant un point a de D et en considérant l'ensemble F des représentations conformes de D sur des parties du disque unité qui transforment a en O, on démontre que, pour un élément f de F, les propriétés suivantes sont équivalentes : (I) L'image de D par f est le disque unité. (II) |f ′(a)| est maximale parmi les valeurs que ce nombre peut prendre lorsque f parcourt F.
c) Il reste à démontrer l'existence d'un élément f de F qui réalise le maximum de |f ′(a)|. Cela résulte du fait que F est un ensemble compact pour la « topologie de la convergence compacte » dans D et que f ↦ |f ′(a)| est une fonction numérique continue dans F.
En général, on ne peut pas déterminer explicitement une représentation conforme de D sur le disque unité, mais seulement chercher à construire des approximations d'une telle représentation ; c'est un problème d'analyse numérique qui peut être difficile. La méthode de H. A. Schwarz donne explicitement une représentation conforme du demi-plan supérieur sur un polygone convexe arbitraire par une formule du type :
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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
Classification
Médias
Conservation des angles
Encyclopædia Universalis France
Représentation z ↦ z2
Encyclopædia Universalis France
Représentation z ↦ z1/2
Encyclopædia Universalis France
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