FONCTIONS ANALYTIQUES Représentation conforme

Surfaces de Riemann

Projection stéréographique et sphère de Riemann

Projection stéréographique - crédits : Encyclopædia Universalis France — Projection stéréographique
Encyclopædia Universalis France

Considérons la sphère S₂ de centre O et de rayon 1 dans l'espace R³(où les coordonnées sont notées x, y, t ). La projection stéréographique de pôle (0, 0, 1) sur le plan t = 0 est l'application qui, à chaque point (x, y, t ) de la sphère distinct de (0, 0, 1), associe le point où la droite joignant (0, 0, 1) à (x, y, t ) rencontre le plan t = 0.

Ainsi, l'image de (x, y, t ) est le point :

soit :

avec la notation complexe. Il est facile de montrer que cette application conserve les angles (c'est-à-dire que l'application linéaire tangente possède cette propriété). C'est une représentation conforme de la sphère privée du pôle (0, 0, 1) sur le plan C.

On peut aussi considérer la projection stéréographique de pôle (0, 0, − 1), qui s'écrit :

et représente conformément la sphère privée de (0, 0, − 1) sur C. Il n'a pas été tenu compte des questions d'orientation et un même angle orienté sur la sphère est transformé en des angles opposés par les deux projections ; ce défaut se corrige en composant la deuxième projection avec la symétrie d'axe réel, ce qui donne la représentation conforme :

de la sphère privée de (0, 0, − 1) sur C. Si z et z′ sont les images d'un même point (x, y, t ) distinct de (0, 0, 1) et de (0, 0, − 1) par nos deux représentations, alors :

ainsi on passe de l'une à l'autre par la transformation z ↦ 1/z.

Si D est une partie ouverte de la sphère, la première projection stéréographique identifie D privé éventuellement du pôle (0, 0, 1) à un ouvert D′ de C, tandis que la seconde projection identifie D privé éventuellement de (0, 0, − 1) à un autre ouvert D″ du plan. On dira qu'une fonction numérique complexe f définie dans D est holomorphe si les fonctions correspondantes dans D′ et D″ sont holomorphes ; cette définition est cohérente parce que la transformation z ↦ 1/z est un isomorphisme de D′ privé éventuellement de l'origine sur D″ privé éventuellement de l'origine. Avec cette notion de fonction holomorphe, la sphère S₂ s'appelle sphère de Riemann. Le plan s'identifie par la projection stéréographique de pôle (0, 0, 1) au complémentaire de (0, 0, 1) dans la sphère de Riemann ; comme ce point a pour image O par l'autre projection, il s'appellera point à l'infini noté ∞ (prolongeant ainsi z ↦ 1/z en posant 1/0 = ∞). La sphère de Riemann, ainsi considérée comme C complété par un point à l'infini, peut aussi s'identifier à la droite projective complexe P₁(C).

Pour déterminer les automorphismes de la sphère de Riemann, remarquons d'abord que ceux qui laissent fixe le point à l'infini donnent par restriction des automorphismes de C, c'est-à-dire des similitudes :

Si f est un automorphisme quelconque, posons c = f ^-1(∞) ; l'application :

transforme ∞ en c et c'est un automorphisme de la sphère de Riemann, donc f ∘ g laisse ∞ fixe et c'est encore un automorphisme ; il en résulte que f ∘ g est une similitude z ↦ az + b et que :

Les représentations conformes de la sphère de Riemann sur elle-même sont donc les transformations homographiques :

(a, b, c, d complexes tels que ad − bc ≠ 0). Elles forment un groupe à six paramètres réels et transforment les cercles en cercles (groupe circulaire).

Courbes analytiques et surfaces de Riemann

La structure qui a été définie précédemment sur la sphère s'exprime bien dans le langage des variétés.

D'une manière générale, on appelle variété analytique complexe de dimension 1, ou courbe analytique complexe (régulière), ou encore, par abus de langage, surface de Riemann, un espace topologique séparé X muni d'un atlas analytique complexe maximal[...]

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Écrit par

Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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Conservation des angles - crédits : Encyclopædia Universalis France — Conservation des angles

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Représentation z &map; z<sup>2</sup> - crédits : Encyclopædia Universalis France — Représentation z ↦ z²

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Représentation z &map; z<sup>1/2</sup> - crédits : Encyclopædia Universalis France — Représentation z ↦ z^1/2

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