FORMALISME
La notion de système formel
La notion de système formel résulte finalement de la combinaison des deux courants, logiciste et formaliste, et peut être utilisée à titre de concept mathématique, de façon relativement indépendante des intentions philosophiques initiales.
On définit un système formel (ou théorie formalisée) en donnant une série de conditions.
La langue formalisée
1. On désigne explicitement un ensemble fini ou dénombrable de symboles, répartis selon leur usage en constantes, variables, symboles logiques, symboles de relations, symboles impropres (ponctuation, par exemple, dont l'usage pourrait être évité au moyen de conventions d'écriture). Une suite finie de symboles est appelée une expression du système. 2. On définit un sous-ensemble d'expressions du système, qu'on appelle les expressions correctement formées, ou formules du système. Intuitivement – mais la référence à l'intuition est étrangère à la problématique du logicien –, ces formules sont celles qui, dans une interprétation du système (en vue de laquelle il peut avoir été construit), ont une signification intelligible, représentant soit l'énoncé d'une relation, soit celui d'une proposition (qui peut être vraie ou fausse en logique « binaire », ou plus généralement prendre une « valeur de vérité » déterminée. C'est Wittgenstein qui, en définissant les « tables de vérité » du calcul des propositions, a ouvert la possibilité de déterminer axiomatiquement les valeurs de vérité).
Dans le cas général, il n'est pas possible d'énumérer effectivement toutes les formules, qui sont en nombre infini. On en donne une définition récursive, en énonçant des règles de formation dont l'application réitérée engendre les formules. Le plus souvent il existe alors un procédé purement mécanique permettant de décider effectivement si une expression donnée est une formule du système.
La démonstration formalisée
3. On définit un sous-ensemble de formules qu'on appelle les axiomes du système. Le plus souvent, on peut décider effectivement si une formule donnée est un axiome, et on parle alors de théorie axiomatique. Intuitivement, les axiomes représentent des propositions qui sont considérées comme vraies sans démonstration, mais cette référence est en toute rigueur inutile. 4. On définit une liste finie de relations R1, ..., Rn entre les formules, qu'on appelle règles d'inférence. Pour chaque règle Ri, il existe un entier j bien déterminé tel que, pour tout ensemble de j formules et toute formule A, on puisse effectivement décider si les j formules considérées et la formule A sont dans la relation Ri. Dans ce cas, on dit que A est une conséquence immédiate des formules considérées en vertu de Ri.
On appelle démonstration formelle du système une suite finie de formules dont chacune est soit un axiome, soit une conséquence immédiate des formules précédentes en vertu d'une règle d'inférence. Une démonstration est dite démonstration de sa dernière formule. Un théorème du système est une formule dont il existe une démonstration. Intuitivement, les théorèmes sont les « vérités » de la théorie. Mais cette référence est absente de la définition d'un système formel, qui a justement pour but de représenter la notion de vérité par celle de démonstrabilité au sens qu'on vient d'indiquer.
Dans une théorie axiomatique formalisée, l'ensemble des théorèmes du système est défini de façon récursive, comme, précédemment, celui des formules correctes. Même lorsqu'une théorie formalisée est axiomatique, la notion de théorème n'y est cependant pas nécessairement « effective », c'est-à-dire qu'il n'est pas nécessairement possible de déterminer par un procédé mécanique si une formule quelconque donnée est un théorème. Lorsque c'est le cas, on parle de théorie[...]
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Écrit par
- Étienne BALIBAR : philosophe, professeur à l'université de Paris-I
- Pierre MACHEREY : maître assistant à l'université de Paris-I
Classification
Média
Bertrand Russell
Kurt Hutton/ Picture Post/ Getty Images
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