QUADRATIQUES FORMES

Résultats généraux

On peut se borner ici à considérer le problème de transformation d'une forme quadratique en une autre sous la forme (3). Un premier invariant est le rang de la matrice T d'une forme quadratique Q ; il est aussi appelé rang de Q ou rang de la forme bilinéaire associée B, et noté rg(Q) ou rg(B). C'est un entier qui peut prendre l'une quelconque des valeurs entre 0 et la dimension n de l'espace vectoriel V où est définie Q. On dit que la forme Q (ou B) est non dégénérée si rg (Q) = n ; la forme bilinéaire B définit alors un isomorphisme ϕ de V sur son dual V* (cf. algèbre linéaire) par la relation :

Un second invariant est l'indice de Witt ν ≤ n/2 (cf. groupes [mathématiques] - Groupes classiques et géométrie, chap. 3) ; l'espace V se décompose en somme directe d'un sous-espace W de dimension n − 2ν, ne contenant aucun vecteur isotrope ≠ 0, et d'un sous-espace orthogonal à W, dans lequel l'indice de Witt de la restriction de Q à ce sous-espace est ν ; pour n et ν donnés, la classe d'équivalence de la forme Q_W, restriction de Q à W, détermine entièrement celle de Q, ce qui permet de ramener le problème d'équivalence au cas des formes anisotropes (c'est-à-dire d'indice 0).

On appelle discriminant de Q (ou de B) par rapport à une base de V le déterminant de la matrice de B par rapport à cette base ; comme la relation (3) entraîne :

Enfin, pour deux éléments α et β de K, on désigne par (α, β) l'algèbre de quaternions (généralisés), espace vectoriel de dimension 4 sur K ayant une base formée de 1 (élément unité) et de trois éléments x₁, x₂ et x₃ avec la table de multiplication :

C'est une algèbre simple de centre K, si αβ ≠ 0. Cela étant, il y a toujours des bases (e_j), 1 ≤ j ≤ n, de V orthogonales pour Q, autrement dit telles que :

On peut prouver que, pour n ≤ 3, les invariants rg(Q), d(Q) et S(Q) caractérisent, à équivalence près, les formes quadratiques sur un corps quelconque K (de caractéristique ≠ 2) ; mais cela n'est plus exact pour n ≥ 4. On n'a, dans ce cas, que des résultats pour des corps particuliers.

Résultats spéciaux

a) Le corps K est algébriquement clos ; un seul invariant suffit, le rang rg(Q) ; pour rg(Q) = n, on a ν = [n/2], partie entière de n/2.

b) Le corps K est le corps R des nombres réels ; pour toute base orthogonale (e_j) de V, si :

c) Le corps K est fini ; dans ce cas, le groupe K*/K*² a encore deux éléments ; les invariants rg(Q) et d(Q) caractérisent Q, à équivalence près ; si rg(Q) = n, on a ν ≥ 1 pour n ≥ 3.

d) Le corps K est un corps local (cf. théorie des nombres - Nombres p-adiques), d'idéal maximal P. Pour deux éléments α et β de K, le symbole de Hilbert (α, β)_P est défini comme égal à 1 si l'équation αξ² + βη² = 1 a une solution dans K, comme égal à − 1 dans le cas contraire (cf. divisibilité, chap. 4) ; et on montre que deux algèbres de quaternions (α, β) et (α′, β′) sont isomorphes si et seulement si on a (α, β)_P = (α′, β′)_P. On associe alors à la forme quadratique Q son symbole de Hasse S_P(Q), égal par définition au produit des symboles de Hilbert (α_j, α₁ α₂ ... α_j)_P pour toute expression (4) de Q à l'aide d'une base orthogonale. On prouve que les invariants rg(Q), d(Q) et S_P(Q) caractérisent Q, à équivalence près. On a toujours ν ≥ 0 pour rg(Q) ≥ 5.

e) Le corps K est un corps de nombres algébriques (cf. théorie des nombres - Nombres algébriques). Pour toute place v de K, le corps K se plonge canoniquement dans le corps local complété K_v, et on peut donc considérer une forme quadratique Q sur K comme une forme quadratique Q_v sur K_v. La théorie est entièrement ramenée au cas des corps locaux par le principe de Hasse : pour qu'une forme quadratique Q′ soit transformée d'une forme Q, il faut et il suffit que Q′_v soit transformée de Q_v pour chaque place v (finie ou à l'infini). Les invariants rg(Q), d(Q), S_P(Q_P) pour toute place finie, et sig(Q_v) pour toute place réelle à l'infini, caractérisent donc Q, à équivalence près (théorème de Hasse-Minkowski). Les symboles S_P(Q_P) sont égaux à 1, sauf pour un nombre fini de places finies P, et on a la loi de réciprocité de Hilbert :