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QUADRATIQUES FORMES

Formes quadratiques sur un corps

Nous distinguons deux cas, suivant que la caractéristique du corps de base K est distincte de 2 ou égale à 2.

Corps de caractéristique ≠ 2

Résultats généraux

On peut se borner ici à considérer le problème de transformation d'une forme quadratique en une autre sous la forme (3). Un premier invariant est le rang de la matrice T d'une forme quadratique Q ; il est aussi appelé rang de Q ou rang de la forme bilinéaire associée B, et noté rg(Q) ou rg(B). C'est un entier qui peut prendre l'une quelconque des valeurs entre 0 et la dimension n de l'espace vectoriel V où est définie Q. On dit que la forme Q (ou B) est non dégénérée si rg (Q) = n ; la forme bilinéaire B définit alors un isomorphisme ϕ de V sur son dual V* (cf. algèbre linéaire) par la relation :

pour x et y dans V ; cela permet de définir dans V les notions de vecteurs orthogonaux, de sous-espace isotrope et de sous-espace totalement isotrope (cf. groupes [mathématiques] - Groupes classiques et géométrie, chap. 3).

Un second invariant est l'indice de Witt ν ≤ n/2 (cf. groupes [mathématiques] - Groupes classiques et géométrie, chap. 3) ; l'espace V se décompose en somme directe d'un sous-espace W de dimension n − 2ν, ne contenant aucun vecteur isotrope ≠ 0, et d'un sous-espace orthogonal à W, dans lequel l'indice de Witt de la restriction de Q à ce sous-espace est ν ; pour n et ν donnés, la classe d'équivalence de la forme QW, restriction de Q à W, détermine entièrement celle de Q, ce qui permet de ramener le problème d'équivalence au cas des formes anisotropes (c'est-à-dire d'indice 0).

On appelle discriminant de Q (ou de B) par rapport à une base de V le déterminant de la matrice de B par rapport à cette base ; comme la relation (3) entraîne :

on voit que le discriminant dépend de la base choisie, mais sa classe d(Q) dans le groupe quotient K*/K*2 du groupe multiplicatif K* de K par le sous-groupe des carrés dans K* est un invariant de Q.

Enfin, pour deux éléments α et β de K, on désigne par (α, β) l'algèbre de quaternions (généralisés), espace vectoriel de dimension 4 sur K ayant une base formée de 1 (élément unité) et de trois éléments x1, x2 et x3 avec la table de multiplication :

C'est une algèbre simple de centre K, si αβ ≠ 0. Cela étant, il y a toujours des bases (ej), 1 ≤ j ≤ n, de V orthogonales pour Q, autrement dit telles que :

ainsi Q(x) est somme de « termes carrés ». On appelle algèbre de Hasse de Q pour cette base le produit tensoriel des algèbres de quaternions (αj, α1 α2 ... αj), pour 1 ≤ j ≤ n, et on démontre que cette algèbre S(Q) ne dépend pas, à isomorphie près, de la base orthogonale choisie.

On peut prouver que, pour n ≤ 3, les invariants rg(Q), d(Q) et S(Q) caractérisent, à équivalence près, les formes quadratiques sur un corps quelconque K (de caractéristique ≠ 2) ; mais cela n'est plus exact pour n ≥ 4. On n'a, dans ce cas, que des résultats pour des corps particuliers.

Résultats spéciaux

a) Le corps K est algébriquement clos ; un seul invariant suffit, le rang rg(Q) ; pour rg(Q) = n, on a ν = [n/2], partie entière de n/2.

b) Le corps K est le corps R des nombres réels ; pour toute base orthogonale (ej) de V, si :

le nombre p (resp. q) des αj qui sont > 0 (resp. < 0) est indépendant de la base choisie (« loi d'inertie » de Sylvester) ; on dit que (p, q) est la signature sig (Q) de Q ; les nombres p et q caractérisent les formes quadratiques à équivalence près ; on a rg(Q) = p + q ; si p + q = n, on a ν = inf (p, q) et d(Q) est la classe de (− 1)q. Le groupe R*/R*2 a ici deux éléments.

c) Le corps K est fini ; dans ce cas, le groupe K*/K*2 a encore deux éléments[...]

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Autres références

  • CONIQUES

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  • HECKE ERICH (1887-1947)

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    Né à Buk (Posnanie), Hecke fut l'élève de Hilbert à Göttingen, où il soutint sa thèse en 1912. Il enseigna brièvement à Bâle et à Göttingen, puis à Hambourg à partir de 1919, où il demeura jusqu'à sa mort.

    Hecke a consacré la quasi-totalité de ses recherches à la fascinante...

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