QUADRATIQUES FORMES
Réduction des formes quadratiques
Nous ne considérerons plus à partir de maintenant que des formes quadratiques non dégénérées sur le corps R des nombres réels, définies dans un espace Rr, et nous nous intéresserons aux sous-groupes Γ du groupe linéaire GL(r, R) opérant à droite, par (g, Q) ↦ Q ∘ g, dans l'espace Q(Rr) de ces formes. Deux cas sont particulièrement étudiés, correspondant au groupe orthogonal Γ = O(r, R) et au groupe Γ = SL(r, Z) des matrices inversibles de déterminant 1 à coefficients entiers. Nous renvoyons pour le premier cas à l'article théorie spectrale, le problème étant celui de la réduction d'une forme quadratique (ou d'une « hyperquadrique ») à ses « axes ». La théorie de la « réduction » correspond au second cas. Comme les orbites de GL(r, R) dans Q(Rr) sont les ensembles de formes de signature donnée (p, q), avec p + q = r (cf. supra, Résultats spéciaux, in Corps de caractéristique ≠ 2), il y a lieu de distinguer le cas des formes positives non dégénérées (c'est-à-dire p = r et q = 0) et le cas des formes où p et q sont tous deux > 0 (dites aussi « indéfinies »).
Formes positives
L'ensemble H (ou Hr) de ces formes s'identifie à celui des matrices symétriques positives inversibles : c'est un « espace symétrique » H = K G d'Élie Cartan, avec G = GL(r, R) et K = O(r, R) qui est le stabilisateur de la matrice unité. Le problème essentiel de la théorie de la réduction est de trouver dans H un « ensemble fondamental » G′ aussi « petit » que possible tel que toute orbite de Γ dans H le rencontre : il suffit de prendre l'image canonique dans H d'un ensemble G ⊂ G tel que G = G ( Γ. Si l'on désigne par A le sous-groupe commutatif de G formé des matrices diagonales à termes aii > 0 et par N le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures (nij) telles que nij = 0 si j < i et nii = 1 pour 1 ≤ i ≤ r, toute matrice g ∈ G s'écrit d'une seule manière : g = k ( a ( n, avec k ∈ K, a ∈ A et n ∈ N ; cette décomposition s'appelle « décomposition d'Iwasawa » (cf. groupes [mathématiques] - Groupes de Lie, chap. 2).
On appelle domaine de Siegel Gt,u dans G l'ensemble des matrices k ( a ( n, avec aii ≤ t ( ai+1,i+1 pour 1 ≤ i ≤ r − 1 et |nij| ≤ u pour i < j ; une méthode remontant à Gauss (pour r = 2) et à Hermite prouve qu'il répond à la question posée, pour t ≥ 2/√3 et u ≥ 1/2. L'intérêt du choix d'un tel domaine fondamental G est que son intersection avec SL(r, R) a une mesure de Haar finie ; d'autre part, si M est un ensemble de matrices m à coefficients entiers de déterminants bornés, alors l'ensemble MG des m ∈ M telles que G ∩ G ( m soit non vide est fini (Siegel). En outre, le fait que Gt,u, pour les valeurs de t et de u indiquées plus haut, soit un domaine fondamental entraîne l'inégalité d'Hermite :
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Un procédé de « réduction » plus fin, dû à Minkowski, fournit dans H un domaine fondamental plus petit que les domaines de Siegel G′t,u, qui a la propriété de ne pouvoir avoir que des points frontières en commun avec ses transformés par Γ. Pour r = 2, en écrivant une forme quadratique positive a(x + τy)(x + ̄τy), avec a > 0 et τ nombre complexe tel que Im τ > 0, on identifie l'espace H(1) des formes quadratiques positives, définies à un facteur constant près, au demi-plan Im τ > 0 ; la réduction de Minkowski donne alors le domaine[...]
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
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