QUADRATIQUES FORMES

Formes quadratiques et fonctions modulaires

Lorsqu'on fait m = 1 dans la formule de Siegel (8), de sorte que T est réduite à un seul entier N, on obtient une « valeur moyenne » du nombre de solutions de l'équation Q(x) = N dans Zⁿ pour une forme positive Q sur Zⁿ ; si l'on sait que le genre de S ne contient qu'une seule classe, ou si les nombres N(S_j, T) sont les mêmes pour toutes les classes du genre de S, la formule (8) donne le nombre de solutions de Q(x) = N pour tout N. Par exemple, si :

on sait depuis Eisenstein que le genre de S n'a qu'une seule classe pour n ≤ 8, mais ce n'est plus exact pour n ≥ 9 ; pour n = 16, il y a deux classes dans le genre, mais elles donnent la même valeur à N(S_j, T). On déduit donc de la formule de Siegel (8) des expressions exactes pour le nombre de représentations de N comme somme de n carrés pour n ≤ 8 ou n = 16.

La théorie des fonctions thêta et des formes modulaires donne des expressions remarquables pour le second membre de (8) pour m = 1. Soit Q(x) une forme quadratique positive non dégénérée sur Zⁿ et soit S sa matrice ; la série :

où x parcourt Zⁿ, est absolument convergente pour Im z > 0 et est donc une fonction holomorphe de z dans ce demi-plan. La formule sommatoire de Poisson permet de prouver l'identité de Jacobi générale :

Bornons-nous, pour simplifier, au cas où det(S) = 1 et où les termes diagonaux de S sont pairs ; on montre que cela implique que n est un multiple de 8 ; la relation (12) s'écrit alors :

et d'autre part :

Or, dans le demi-plan supérieur Im z > 0, les transformations z ↦ z+ 1 et z ↦ − 1/z engendrent le groupe modulaire de toutes les transformations :

avec a, b, c, d entiers et ad − bc = 1 ; c'est un groupe discontinu dont un domaine fondamental est donné par la figure. Une forme modulaire de poids 2 k, pour k entier, est une fonction f holomorphe dans Im z > 0 telle que :

pour toute transformation du groupe modulaire ; en outre, on impose à f la condition d'être holomorphe à l'infini, ce qui implique qu'elle est développable en série :

convergente pour Im z > 0 ; on dit de plus que la forme est parabolique si a₀ = 0. La fonction θ_s est donc une forme modulaire de poids n/2.

Si k > 1, la série d'Eisenstein :

où (c, d) parcourt Z² − {0}, est convergente (cas particulier d'une série de Poincaré pour le groupe modulaire) et est une forme modulaire de poids 2 k, telle que G_k(∞) = 2 ζ(2k) ; en posant q = e^2π^iz, on montre que :

avec :

où B_k est le k-ième nombre de Bernoulli et σ₂_k-1(N) la somme des puissances (2 k − 1)-ièmes des diviseurs de N (cf. calculs asymptotiques, chap. 2).

On montre alors que l'on a θ_s = E_k + f_s où k = n/4 et où f_s est une forme modulaire parabolique. Comme l'on peut écrire :

où r_s(N) est le nombre de solutions de l'équation Q(x) = 2 N dans Zⁿ, on déduit de (14) l'expression asymptotique :

Pour n = 8 ou n = 16, on a f_s = 0 ; pour n = 24, on montre que f_s = c_sF, où F est la forme parabolique :

étroitement liée à la théorie des fonctions elliptiques, et c_s une constante dépendant de la classe de S et qu'on détermine en évaluant le coefficient r_s(1) ; on montre, pour n = 24, qu'il y a vingt-quatre classes de formes quadratiques vérifiant les conditions indiquées ci-dessus. Siegel a montré que, pour m = 1, la matrice T étant réduite à l'entier N, la série génératrice dont le coefficient de q^N est le premier membre de la formule (8) s'exprime encore à l'aide de séries d'Eisenstein. Il a ensuite étendu ce fait au cas où m est quelconque, en introduisant des « fonctions modulaires d'ordre m », où le demi-plan Im z > 0[...]

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Écrit par

Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences

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