RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)
Espaces fonctionnels
David Hilbert (cf. espace de hilbert) avait montré que l'espace l2 des suites numériques c = (c1, c2, ...) de carré sommable, muni de la norme :
On doit à F. Riesz l'introduction des espaces lp des suites de nombres complexes de puissance p-ième sommable, des espaces Lp des classes de fonctions de puissance p-ième intégrable, 1 ≤ p ≤ ∞, ainsi que des espaces C de fonctions continues ; les propriétés fondamentales, qu'il a découvertes, des fonctionnelles linéaires sur ces espaces ont servi de fondement à une série de notions (espace vectoriel normé complet, fonctionnelle linéaire, opérateur linéaire, etc.) et de résultats qui constituent la base de l'analyse fonctionnelle. Notons en particulier la représentation générale d'une fonctionnelle linéaire continue A sur l'espace C([a, b]) des fonctions continues dans[a, b], sous la forme d'une intégrale de Stieltjes avec une fonction v à variation bornée :
Son livre Les Systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues (1913) est la première monographie d'analyse fonctionnelle ; on y trouve notamment des calculs effectifs sur les opérateurs linéaires continus, moyennant des intégrales sur des contours dans le plan des nombres complexes, ainsi qu'une démonstration simple du théorème spectral de Hilbert. Lorsque les applications à la physique quantique ont nécessité, vers 1930, une extension de ce théorème aux opérateurs auto-adjoints non continus, on a pu largement profiter des méthodes exposées dans ce livre (J. von Neumann, F. Riesz, M. H. Stone).
Ces recherches étaient en partie motivées par l'étude des équations intégrales. En ce domaine, la contribution la plus importante de Riesz est d'avoir établi l'alternative de Fredholm pour toute équation linéaire x − Kx = y dans un espace vectoriel normé et pour un opérateur linéaire compact K quelconques (cf. équations intégrales). Le mémoire qu'il écrivit en 1916 constitue l'un des chefs-d'œuvre de l'analyse fonctionnelle linéaire.
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Écrit par
- Béla SZŐKEFALVI-NAGY : professeur à l'université de Szeged, Hongrie
Classification
Autres références
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