GAMME

Divisions de l'octave en parties égales

Ni tous les musiciens ni tous les théoriciens ne se montrèrent et ne se montrent encore satisfaits d'un système dans lequel toutes les divisions de l'octave sont égales. Jusqu'à la fin du xviii^e siècle, divers tempéraments furent employés (on appelait tempérament tout système dans lequel on sauvegardait la justesse d'un certain nombre de quintes et de tierces tout en en sacrifiant quelques-unes). En revenant à la règle générale par laquelle on s'efforce d'obtenir simultanément des octaves et des quintes justes, on cherchera donc quelles sont les puissances de 3/2 qui sont les plus voisines d'une puissance de 2. Werckmeister avait déjà remarqué que (3/2)¹² est voisin de 2⁷ ; mais d'autres divisions de l'octave sont possibles ; on peut notamment citer les suivantes : 31, puisque (3/2)³¹ est voisin de 2¹⁸ ; 41, puisque (3/2)⁴¹ est voisin de 2²⁴ ; et 53, puisque (3/2)⁵³ est très proche de 2³¹. Dans les années 1950, Adriaan Fokker construisit à Haarlem un orgue à trente et un degrés par octave. Dans la seconde moitié du xix^e siècle, Pál Janko, à Prague, réalisa des pianos à quarante et un degrés par octave dont le clavier se composait de six rangées de touches superposées ! Mais, sans qu'on ait jamais essayé de construire un instrument à cinquante-trois touches par octave (nous n'avons que dix doigts...), il semble que ce soit la division de l'octave en cinquante-trois parties égales qui se soit montrée la plus intéressante. C'est elle, en effet, qui génère un tempérament dans lequel on trouve deux demi-tons, l'un dit chromatique et l'autre diatonique, qui valent respectivement 5 et 4 cinquante-troisièmes d'octave. Par abus de langage, le cinquante-troisième d'octave est ici appelé aussi comma. On a alors la gamme suivante (l'intervalle entre deux notes étant donné en cinquante-troisièmes d'octave) :

ut ₅ ut♯ ₄ ré ₅ ré♯ ₄ mi ₄ fa ₅   fa♯ ₄ sol ₅ sol♯ ₄ la ₄ si♭ ₅ si♮ ₄ ut

Cette gamme présente deux avantages ; le premier est qu'elle permet aux instruments à clavier de jouer dans toutes les tonalités, chacune d'elles gardant une couleur particulière ; le second est que l'intervalle de quinte y est pratiquement juste : 1,499 94 au lieu de 1,5. Il est vraisemblable que ce tempérament ait été celui de Jean-Sébastien Bach pour le Wohltemperierte Klavier plutôt que le tempérament rigoureusement égal.

Parmi les gammes non européennes, il faut citer les modes indiens, dans lesquels existe une division de l'octave en vingt-deux parties, dites çrutis. Mais s'il y a bien vingt-deux çrutis par octave, il y a trois çrutis différents ; l'octave n'est donc pas divisée en vingt-deux parties égales. Toutefois, les mesures effectuées à partir d'enregistrements montrent que, dans la pratique, les musiciens indiens exécutent les différents çrutis d'une manière assez approximative.

Il est remarquable de constater que, pour obtenir une division de l'octave en parties égales, il suffit de posséder un nombre tel que sa multiplication par lui-même autant de fois qu'il y a de parties de l'octave considérée soit égale à 2. La fréquence de chaque note, multipliée par ce nombre, donne la fréquence de la note immédiatement supérieure. Ce nombre représente donc l'intervalle de base. Il est égal à ¹² √2 dans le système tempéré occidental, à ³¹ √2 dans celui de Fokker, à ⁴¹ √2 dans celui de Janko et à ⁵³ √2 dans le système au cinquante-troisième d'octave, dont la théorie avait été exposée au xvii^e siècle par William Holder et Nicolaus Mercator.

Le fait que, pour passer d'une note à une autre, il soit nécessaire de multiplier sa fréquence par[...]