MONGE GASPARD (1746-1818)

L'œuvre scientifique

Le premier travail important de Monge, présenté à l'Académie des sciences en 1771 et publié en 1785, porte sur les courbes gauches. Il y introduit, entre autres, la notion de polaire, surface développable définie comme l'enveloppe des plans normaux à la courbe, et montre qu'une courbe gauche admet une infinité de développées, qui forment une famille de géodésiques de la polaire. Ce mémoire est déjà caractéristique du style intuitif de Monge, mêlant avec élégance la géométrie pure, l'analyse et la géométrie différentielle. L'année suivante, il étudie systématiquement les propriétés des surfaces développables, définies par la propriété de leurs plans tangents, en déduit leur équation aux dérivées partielles la plus générale et introduit la notion d'arête de rebroussement. Il montre que toute surface développable peut aussi bien être définie comme la surface engendrée par le mouvement d'une droite constamment tangente à une courbe gauche donnée qui est son arête de rebroussement, que comme l'enveloppe d'une famille de plans tangents à deux surfaces données (famille de plans à un paramètre). Cette dernière définition lui fournit une application pour l'étude des ombres et des pénombres. Enfin, en 1776, Monge introduit la notion de lignes de courbure d'une courbe, définies par la propriété d'être en tout point tangentes à une direction principale (c'est-à-dire à la section de courbure maximale ou minimale en ce point). Il montre que les normales à la surface le long des lignes de courbure engendrent deux familles de surfaces développables (les normalies), dont les arêtes de rebroussement engendrent à leur tour une seule et même surface à deux nappes, dite la focale de la surface donnée. Monge utilise cette théorie pour déterminer les chemins satisfaisant au minimum dans le problème des déblais et remblais considéré dans l'espace. Ce travail, qui fournit l'exemple le plus remarquable d'un traitement purement théorique d'une question pratique, est à l'origine du problème actuel du transport optimal, dit de Monge-Kantorovitch. La considération des enveloppes le conduit de manière générale à des résultats très fins en géométrie différentielle, mais aussi en théorie des équations aux dérivées partielles. La méthode consiste à associer à une équation aux dérivées partielles une famille de surfaces à un ou deux paramètres. L'étude géométrique de ces surfaces, de leurs modes de génération et de leur enveloppe fournit des informations essentielles sur l'équation et sur ses intégrales, en particulier sur ses intégrales singulières, ainsi que des méthodes de résolution (méthode des caractéristiques), par exemple pour l'équation non linéaire du second ordre dite de Monge-Ampère. Ces résultats, obtenus pour l'essentiel dans les années 1770 et 1780, ont été exposés et développés par Monge dans ses cours de l'École polytechnique, publiés en 1807 sous le titre d'Application de l'analyse à la géométrie. Le livre est devenu un classique des mathématiques.

Mais plus que cet ouvrage difficile, son œuvre la plus marquante, bien que mathématiquement plus modeste, est incontestablement sa Géométrie descriptive tirée des leçons données à l'École normale en 1795. La géométrie descriptive est un moyen puissant et commode de représenter sur une feuille de papier les surfaces dont on connaît un mode de génération et de construire leurs plans tangents et leurs normales. Elle permet également de construire la courbe d'intersection de deux surfaces et de la développer sur un plan si l'une de ces deux surfaces est développable. Les applications techniques, au dessin, mais aussi, par exemple, à la topographie et à la coupe des pierres et des bois, sont innombrables.[...]