GÉNÉRATEUR, mathématique

Soit E un ensemble muni d'une opération interne associative notée par le symbole ∗ et que nous appellerons multiplication pour simplifier. Il sera dit monogène, ou encore posséder un générateur a, si tout élément de E peut s'écrire comme un produit fini de n facteurs tous égaux à a. Par définition d'un produit portant sur zéro facteur, cet ensemble doit contenir un élément neutre e pour ∗ (c'est-à-dire tel que x ∗ e = e ∗ x = x pour tout x de E), et ce produit a⁰ est égal à e. Naturellement, E contient a et toutes ses puissances : a = a¹, a², a³,... aⁿ et ainsi de suite ; dire que E est monogène pour ∗, ou que a est un générateur pour E, revient exactement à dire que, réciproquement, E est l'ensemble des puissances de a, ou est engendré par a.

L'exemple le plus simple est celui de l'ensemble ℕ des entiers naturels, muni de l'addition : ici l'élément neutre est le nombre 0, et le nombre 1 est un générateur puisque tout n est la somme 1 + 1 +... + 1 de n entiers égaux à 1. C'est le seul générateur possible pour ℕ.

L'existence d'un générateur pour un ensemble E muni d'une loi ∗ est rare, mais, s'il existe, ce générateur n'est pas nécessairement unique. Soit en effet pour E l'ensemble des trois rotations planes r, s et t d'angles de mesures 0, 120 et 240 degrés, muni de la loi de composition des applications ∘. L'élément neutre est r, application identique du plan, et chacune des deux autres engendre E, car r = s⁰ = t⁰, s = s¹ = t² et t = t¹ = s².

La définition ci-dessus peut s'étendre au cas de l'existence d'un exemple fini {a, b, c,...} de générateurs. L'exemple du groupe (ℤ, +) suffira pour indiquer le sens de cette généralisation. Un seul générateur ne saurait suffire, puisque des sommes de termes égaux à un nombre a ont même signe que a. Ainsi 1 n'engendre-t-il que le sous-ensemble strict ℕ de ℤ. Il faut donc admettre au moins un autre générateur, qui sera évidemment –1 qui engendre les entiers négatifs. Dans ce cas particulier, dire que {1, – 1} engendre (ℤ, +) signifie que tout élément de ℤ est une somme finie de termes égaux, soit à 1, soit à – 1. D'une manière plus générale, dire que {a, b} est un ensemble de générateurs d'un ensemble E muni d'une loi associative ∗ munie d'un neutre e, c'est dire que tout élément x de E peut s'écrire sous la forme c₁ ∗ c₂∗... c_n où chaque c_i est égal, soit à a, soit à b. Figurent parmi ces x les éléments e, a, b, a², b², a ∗ b, b ∗ a, a³, b³, a² ∗ b, a ∗ b², b ∗ a², b² ∗ a, a ∗ b ∗ a, b ∗ a ∗ b et ainsi de suite.

L'extension aux ensembles infinis de générateurs est immédiate ; il faut simplement ne pas oublier que l'on s'interdit évidemment des produits de générateurs qui ne seraient pas finis : on sortirait alors du domaine de l'algèbre, même si des sommes infinies (voire des produits infinis) peuvent être considérées dans le cadre de l'analyse, non sans extrêmes précautions.

Tout ensemble muni d'une loi ∗ pour laquelle existe un élément neutre admet un ensemble trivialement générateur : lui-même ; mais c'est évidemment sans intérêt. On s'intéressera donc a priori à des ensembles de générateurs les plus petits possible. Il est bien utile, quand il en existe, de disposer de tels ensembles finis. Toutefois, c'est assez rarement le cas.

L'exemple le plus intéressant, très connu même en dehors des mathématiciens, est celui de l'ensemble ℕ^* des entiers naturels non nuls muni de la multiplication. Le plus petit ensemble de générateurs est ici celui des nombres premiers. Depuis Euclide, nous savons qu'il est infini. Qu'aucun nombre premier p ne puisse être omis de la liste de générateurs est clair : par[...]