GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

Variétés algébriques affines

À tout ensemble algébrique affine X ⊂ k^m, nous avons associé la k- algèbre A(X) des fonctions régulières sur X ; elle est isomorphe (d'une manière canonique) au quotient k[T₁, T₂, ..., T_m]/I(X) où I(X) désigne l'idéal formé des polynômes qui s'annulent sur X. Si une application u : X → Y d'un ensemble algébrique dans un autre est régulière, f ∘ u appartient à A(X) pour toute fonction f de A(Y). Inversement, cette condition implique que u est régulière ; remplaçons en effet f par les fonctions coordonnées y₁, y₂, ..., y_n de Y : nous obtenons des fonctions u_i = y_i ∘ u (i = 1, 2, ..., n) régulières sur X, c'est-à-dire induites par des polynômes en les coordonnées de X.

On voit même que tout homomorphisme ϕ de A(Y) dans A(X) détermine une application régulière u de X dans Y telle que ϕ soit l'application f ↦ f ∘ u ; les coordonnées de u sont les fonctions ϕ(y₁), ϕ(y₂), ..., ϕ(y_n) de A(X). Considérons, en particulier, le cas où X = {e} est réduit à un point ; c'est l'espace affine k⁰ et son algèbre de fonctions régulières se réduit aux constantes A(X) = k. La donnée d'une application (régulière automatiquement) u : X = {e} → Y, c'est-à-dire d'un point y = u(e) de Y, équivaut donc à celle de l'homomorphisme f ↦ f ∘ u = f(y) de A(Y) dans k ; d'où une bijection de l'ensemble Y sur l'ensemble Hom_k (A(Y), k) des homomorphismes de A(Y) dans k.

Tout isomorphisme A(Y) → A(X), où X et Y sont des ensembles algébriques affines, détermine un isomorphisme de X sur Y. Cela nous met sur la voie d'une définition intrinsèque des ensembles algébriques affines, indépendamment du plongement dans un espace kⁿ : la structure d'ensemble algébrique est définie par la donnée de l'algèbre des fonctions régulières. Nous allons considérer une structure un peu plus fine, en utilisant une autre algèbre qui n'est pas une algèbre de fonctions. En effet, il est avantageux de pouvoir distinguer, par exemple, l'ensemble algébrique {O} ⊂ k défini par l'équation x = 0 (« point simple ») du même ensemble défini par l'équation x² = 0 (« point double »), bien que ces ensembles soient isomorphes. Pour cela, on est conduit à associer à l'ensemble algébrique X ⊂ kⁿ, défini par les équations f₁ = 0, f₂ = 0, ..., f_s = 0, non pas l'algèbre de fonctions k[T₁, T₂, ..., T_n]/I(X), mais l'algèbre k[T₁, T₂, ..., T_n]/a, où a est l'idéal de polynômes engendré par f₁, f₂, ..., f_s ; il est clair que a est contenu dans I(X), donc l'algèbre des fonctions régulières sur X s'identifie à un quotient de la nouvelle algèbre ; ainsi, tout élément de cette nouvelle algèbre définit une fonction régulière f sur X (sa classe modulo I|(X)/a), mais f peut être nulle sans que l'élément considéré le soit. Dans l'exemple de {O} ⊂ k, l'algèbre associée est k[T]/(T) ≃ k dans le cas du point simple, d'équation x = 0, et k[T]/(T²) ≃ k + kε, algèbre des nombres duaux (extension quadratique de k engendrée par un élément ε de carré nul) dans le cas du point double, d'équation x² = 0 ; l'élément ε définit une fonction nulle.

Nous appellerons variété algébrique affine un triplet (X, A, ϕ ) où X est un ensemble, A une k-algèbre engendrée par un nombre fini d'éléments et ϕ une bijection de X sur Hom_k(A, k). Notons que si (x₁, x₂, ..., x_n) est un système de générateurs de A, il détermine un homomorphisme surjectif k[T₁, T₂ ..., T_n] → A dont le noyau a est engendré par un nombre fini de polynômes, car l'anneau des polynômes est noethérien (théorème de Hilbert, cf. anneaux commutatifs) ; ainsi A est isomorphe à l'algèbre associée à un ensemble algébrique affine contenue dans kⁿ, et ϕ détermine une bijection de X sur cet ensemble. Un morphisme (X, A, ϕ ) → (Y, B, ψ) de variétés algébriques affines est un couple (u, v) d'une application u : X → Y et d'un homomorphisme v : B → A de k-algèbres, tel que ϕ(x) ∘ v = ψ(u(x)) pour tout point x de X ; en fait la connaissance de v détermine entièrement u (à l'aide de ϕ et ψ). Le composé d'un tel morphisme avec un morphisme (u′, v′) : (Y, B, ψ) → (Z, C, χ) est le morphisme (u′ ∘ u, v ∘ v′) de (X, A, ϕ) dans (Z, C, χ). Le morphisme (u, v) est un isomorphisme s'il existe un morphisme (u′, v′) de (Y, B, ψ) dans (X, A, ϕ) tel que les composés (u′, v′) ∘ (u, v) et (u, v) ∘ (u′, v′) soient les morphismes identiques (id_X, id_A) et (id_Y, id_B) ; cela revient à dire que v est un isomorphisme de k-algèbres.

La droite affine est la variété (k, k[T], ψ) où ψ applique tout élément a de k sur l'homomorphisme k[T] → k qui transforme T en a. Un morphisme de (X, A, ϕ) dans la droite affine est donc formé d'une application u de X dans k et d'un homomorphisme v de k[T] dans A ; la donnée de v, qui équivaut à celle du morphisme (u, v), revient à celle de l'élément f = v(T) de A ; pour tout point x de X on a u(x) = ϕ (x)(f ). Autrement dit, les éléments de A correspondent bijectivement aux morphismes de (X, A, ϕ) dans la droite affine (et non plus aux fonctions régulières ; un morphisme est une donnée plus riche que la fonction u sous-jacente).

Nos définitions montrent que l'étude des variétés algébriques affines est équivalente à celle des k-algèbres de type fini (c'est-à-dire engendrées par un nombre fini d'éléments). Les principaux résultats de cette théorie sont dus aux géomètres allemands de la première moitié du xx^e siècle. Nous les citerons sans donner de démonstration complète.

Précisons d'abord que si B est un anneau, une B-algèbre A est dite de type fini si elle est engendrée en tant qu'algèbre par un nombre fini d'éléments, tout élément de A s'exprimant comme fonction polynôme de ces générateurs. L'algèbre A est dite finie si elle est engendrée par un nombre fini d'éléments en tant que B-module : tout élément de A est combinaison linéaire des générateurs ; cela revient à dire que A est de type fini et entière sur B.

Lemme de normalisation d'Emmi Noether

Soit A une k-algèbre de type fini non nulle, engendrée par n éléments. Il existe un entier d et un homomorphisme injectif v : k[T₁, T₂, ..., T_d] → A, faisant de A une k[T₁, T₂, ..., T_d]-algèbre finie.

Géométriquement, v s'interprète comme un morphisme de la variété affine X qui correspond à A dans l'espace affine k^d ; les propriétés de v impliquent que ce morphisme est surjectif et « fini », c'est-à-dire qu'il fait de X une sorte de revêtement ramifié de k^d.

On peut démontrer ce lemme par récurrence sur le nombre n de générateurs de A ≃ k[T₁, T₂, ..., T_n]/a ; il est évident si a = {0}, en particulier si n = 0. Dans le cas contraire, on montre qu'il est possible de trouver un nouveau système de n générateurs dont le dernier est entier sur la sous-algèbre A′ engendrée par les n – 1 premiers, de sorte que A est une A′-algèbre finie ; on applique alors l'hypothèse de récurrence à Α′.

Par exemple, si A = k[x, y]/(f ) est l'algèbre de la courbe plane définie par l'équation f (x, y) = 0, on fait un changement de base dans k² de manière que l'axe des y ne soit pas une « direction asymptotique » de la courbe (c'est possible, car k est infini) ; l'équation de la courbe prend alors la forme :

où les a_i(x) sont des polynômes en x. Ainsi la classe de y dans A est entière sur k[x], et la courbe apparaît comme un revêtement ramifié (de degré r) de l'axe des x.

Appliquons ce résultat en remplaçant A par le quotient A/m où m est un idéal maximal de A ; ce quotient est encore de type fini sur k, et c'est un corps. D'après le lemme, il contient une sous-algèbre B isomorphe à une algèbre de polynômes, sur laquelle il est une algèbre finie ; on en déduit aisément que B est elle-même un corps, et ensuite que B ≃ k. Comme k est algébriquement clos, son extension finie A/m lui est isomorphe. Cela prouve que tout idéal maximal de A est le noyau d'un homomorphisme de A dans k, et permet d'établir une correspondance bijective entre les idéaux maximaux de A et les points de la variété algébrique affine associée à A. Pour développer la géométrie algébrique sur un corps non algébriquement clos, il est raisonnable de remplacer l'ensemble Hom_k(A, k) par l'ensemble des idéaux maximaux de A dans la définition des variétés algébriques affines ; cela revient à considérer, outre les « points rationnels sur k » de la variété, qui correspondent à des idéaux maximaux m tels que A/m ≃ k, d'autres points correspondant à des idéaux maximaux m tels que A/m soit une extension finie de k. Nous conservons un corps de base algébriquement clos pour rester plus près des notions intuitives.

Considérons une variété algébrique affine (X, A, ϕ) ; si f ∈ A et x ∈ X, nous noterons f (x) la valeur en x de la fonction sur X définie par f, c'est-à-dire ϕ (x) (f ). Pour qu'un élément de f de A soit inversible, il faut et il suffit que f (x) ≠ 0 pour tout point x de X ; en effet, cette condition signifie que f n'appartient à aucun idéal maximal de A, et, d'après le théorème de Krull, un élément non inversible appartient toujours à un idéal maximal.

Théorème des zéros de Hilbert

Soit (X, A, ϕ) une variété algébrique affine. Si f ∈ A les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) Pour tout point x de X, f (x) = 0.

(2) L'élément 1 − f T est inversible dans l'algèbre de polynômes A[T].

(3) f est nilpotent, c'est-à-dire que l'une de ses puissances est nulle.

La condition (2) sert d'intermédiaire entre (1) et (3) ; elle s'interprète en disant que 1 − fT ne s'annule pas sur la variété affine d'algèbre A[T] (qui n'est autre que X × k, cf. infra). Ainsi, on voit aisément que (1) implique (2). Pour voir que (2) implique (3), on note que 1 − fT admet pour inverse 1 + f T + f ²T² + ... f ⁿTⁿ + ... dans l'algèbre de séries formelles A [[T]], si cet inverse est un polynôme, f est nilpotent. Enfin, si f est supposé nilpotent, il en est de même de f (x) pour tout point x ; or f (x) ∈ k, et dans un corps tout élément nilpotent est nul.

Autrement dit, l'ensemble n des éléments nilpotents de A est l'intersection des idéaux maximaux (c'est un idéal qu'on appelle le nilradical de A). Pour un anneau quelconque, le même raisonnement prouve que le nilradical est l'intersection des idéaux premiers ; ici, on voit, en appliquant le théorème précédent à A/p où p est un idéal premier de A, que tout idéal premier de A est une intersection d'idéaux maximaux (on dit que A est un anneau de Jacobson).

À tout idéal a de A, nous associerons l'ensemble V(a) ⊂ X des points x tels que f (x) = 0 pour tout f ∈ a ; il suffit d'écrire cette condition pour un système de générateurs (f ₁, f ₂, ..., f _s) de a, et on peut dire que V(a) est un sous-ensemble algébrique de X. Avec l'algèbre A/a, il forme une variété algébrique affine à laquelle on peut appliquer le théorème précédent. On trouve ainsi que l'idéal I(V (a)) formé des éléments f de A tels que f (x) = 0 pour tout x ∈ V(a) est égal à la racine w(a) de a c'est-à-dire à l'ensemble des éléments de A qui ont une puissance dans a ; en particulier, V(a) n'est pas vide si a ≠ A (c'est l'énoncé du Nullstellensatz de Hilbert).