GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Variétés algébriques
L'utilisation des fonctions régulières ne conduit à rien dans l'étude des ensembles algébriques projectifs, puisque l'anneau des fonctions régulières d'un tel ensemble est toujours réduit à k. On peut remplacer les fonctions régulières par les fonctions rationnelles. La théorie ainsi construite permet l'étude des propriétés conservées par une équivalence birationnelle ; elle a été développée à la fin du xixe siècle, principalement en Italie. Cette méthode interdit la distinction entre des ensembles algébriques birationnellement équivalents, même non isomorphes. Il faut donc chercher dans une autre direction pour obtenir une définition intrinsèque des variétés algébriques.
En localisant la notion de fonction régulière, on arrive à une notion adéquate. Commençons par munir les ensembles algébriques d'une topologie qui permette une telle localisation.
Topologie de Zariski
Si le corps de base est celui des nombres complexes, on peut essayer la topologie induite par celle de Cn ou Pn(C) (c'est la topologie transcendante, définie à partir de la valeur absolue d'un nombre complexe). Il est clair, en effet, que les applications régulières sont continues pour cette topologie ; par suite, les isomorphismes la conservent. Mais cela ne convient pas au cas d'un corps de base général.
On veut une topologie adaptée à l'étude des propriétés algébriques ; ainsi les propriétés algébriques (ou du moins beaucoup d'entre elles) doivent avoir une nature locale pour la topologie cherchée : par exemple, une fonction rationnelle définie en un point doit rester définie au voisinage de ce point. Or les ensembles exceptionnels où les propriétés algébriques considérées cessent d'être vraies sont définis par des équations polynomiales (l'annulation du dénominateur dans le cas de la définition d'une fonction rationnelle) ; ce sont eux-mêmes des ensembles algébriques. Ainsi, nous imposons la condition suivante : les ensembles algébriques doivent être fermés pour la topologie cherchée. Il se trouve qu'il existe sur kn, ou sur Pn(k), une topologie bien déterminée pour laquelle les ensembles fermés sont les ensembles algébriques : on l'appelle la topologie de Zariski.
En effet, l'intersection d'une famille (Ei)i ∈I d'ensembles algébriques est encore algébrique ; si Ei est défini par les équations fiλ = 0,λ ∈ Λi, cette intersection est définie par l'annulation de tous les polynômes fiλ : c'est l'ensemble des zéros communs aux polynômes de l'idéal engendré par les fiλ et il suffit de prendre un ensemble fini de générateurs de cet idéal pour avoir un système d'équations de l'intersection (rappelons la propriété noethérienne de l'anneau des polynômes ; dans le cas projectif, il faut bien sûr prendre des générateurs homogènes). Considérons maintenant la réunion de deux ensembles algébriques, définis respectivement par les équations f 1 = 0, f 2 = 0, ..., f r = 0 et g1 = 0, g2 = 0, ..., gs = 0 ; c'est l'ensemble des zéros communs aux polynômes figj (1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s), donc un ensemble algébrique. Enfin l'ensemble vide est algébrique, étant défini par l'équation 1 = 0. Ainsi les axiomes des fermés d'une topologie sont vérifiés par les ensembles algébriques (cf. topologie - Topologie générale). Dorénavant nous considérons kn et Pn(k) comme munis de leurs topologies de Zariski, et tout ensemble algébrique affine ou projectif est muni de la topologie induite ; toute variété algébrique affine est de même munie de sa topologie de Zariski.
Si (X, A, ϕ) est une variété algébrique affine, une base d'ouverts de sa topologie de Zariski est formée des ensembles D([...]
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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
Classification
Médias
Isomorphisme
Encyclopædia Universalis France
Cissoïde
Encyclopædia Universalis France
Paraboloïde
Encyclopædia Universalis France
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