GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

Propriétés élémentaires

Tout ouvert U d'une variété algébrique X, muni de la structure annelée induite, est une variété algébrique ; on dit que c'est une sous-variété ouverte de X.

Considérons un faisceau d'idéaux J de O_X (c'est-à-dire un faisceau tel que J(U) soit un idéal de O_X(U) pour tout ouvert U, les opérations de restriction de J étant induites par celles de O_X) ; on peut définir un faisceau quotient O_X/J, dont la fibre en un point x quelconque de X est O_X,x/J_x. Si J est « localement de type fini », le support Y de ce faisceau quotient, c'est-à-dire l'ensemble des points x où sa fibre n'est pas nulle, est une partie fermée de X. On peut considérer O_X/J comme un faisceau sur Y, et Y muni de ce faisceau est une variété algébrique ; on dit que c'est une sous-variété fermée de X. Par exemple, les variétés algébriques affines (resp. projectives) peuvent être considérées comme des sous-variétés fermées d'un espace kⁿ (resp. P_n(k)).

Si Y est un fermé quelconque de X, le faisceau d'idéaux J_Y formé des f qui s'annulent sur Y est localement de type fini et O_X/J_Y a pour support Y, d'où sur Y une structure de sous-variété fermée de X. Ce n'est pas la seule possible, mais on peut la caractériser par le fait qu'elle est réduite, c'est-à-dire que son faisceau structural ne comporte pas d'éléments nilpotents non nuls (il s'interprète comme un faisceau de fonctions sur Y). En particulier, si Y = X, on définit une sous-variété fermée X_red de X qui est réduite et a même espace topologique sous-jacent que X.

Sur l'ensemble produit X × Y de deux variétés algébriques, on peut définir une structure de variété algébrique munie de morphismes p : X × Y → X et q : X × Y → Y, de manière que les morphismes u d'une variété Z dans X × Y correspondent bijectivement aux couples (p ∘ u, q ∘ u) de morphismes de Z dans X et Y respectivement. En général la topologie de X × Y est strictement plus fine que la topologie produit. Par exemple k^m × kⁿ≃ k^m+n ; le produit de deux variétés affines est par suite une variété affine. De même, le produit de deux variétés projectives est projective ; en effet, P_m(k) × P_n(k) s'identifie à une sous-variété fermée de P_r(k), avec r = mn + m + n, au moyen du morphisme de Segre qui transforme un couple (x, y) ∈ P_m(k) × P_n(k) en le point de coordonnées homogènes x_iy_j (0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n) où les x_i sont les coordonnées homogènes de x et les y_j celles de y. Par exemple, pour m = n = 1, le morphisme de Segre P₁(k) × P₁(k) → P₃(k) identifie le produit de deux droites projectives à la quadrique d'équation homogène zt = xy (cf. chap. 1, exemple des paraboloïdes et ) ; lorsque a décrit P₁(k), l'image de {a} × P₁(k) décrit l'un des systèmes de génératrices rectilignes de la quadrique, tandis que l'image de P₁(k) × {a} décrit l'autre système.

On dit qu'une variété algébrique X est séparée si la diagonale Δ_X = {(x, x) | x ∈ ΓX} est une partie fermée de X × X (comme la topologie de X × X est plus fine que la topologie produit, cela ne signifie pas en général que la topologie de X est séparée). Une sous-variété (ouverte ou fermée) d'une variété séparée est aussi séparée ; de même, un produit de variétés séparées est séparé. L'espace kⁿ et l'espace P_n(k) sont séparés, donc les variétés algébriques affines ou projectives sont séparées.

La propriété noethérienne des algèbres de type fini se traduit dans le fait que toute suite décroissante de fermés d'une variété algébrique affine est stationnaire. Il en résulte que tout sous-espace d'une telle variété est quasi compact, c'est-à-dire vérifie l'axiome de Borel-Lebesgue.[...]