GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

Morphismes finis. Normalisation et désingularisation

On dit qu'un morphisme f = (u, v) : X → Y de variétés algébriques affines est fini si v_Y : B → A fait de A une B-algèbre finie (A désigne l'algèbre de X et B celle de Y). Plus généralement, un morphisme f : X → Y entre des variétés algébriques quelconques est dit fini s'il existe un recouvrement de Y par des ouverts affines U_i tels que les ouverts f^-1(U_i) de X soient affines et que les restrictions :

soient finies. Un morphisme fini transforme les fermés de X en fermés de Y, et, pour tout point y de Y, la fibre f ^-1(y) est finie et discrète. Le lemme de normalisation de Noether, énoncé au chapitre 2, signifie que si X est une variété algébrique affine, il existe un morphisme fini et surjectif de X sur un espace k^d ; l'entier d est égal à la dimension de X. Si X est une sous-variété fermée d'une variété Y, le morphisme d'injection X → Y est fini.

Soit f : X → Y un morphisme de variétés algébriques tel que pour tout point y de Y la fibre f ^-1(y) soit finie et discrète. En général f n'est pas fini, mais, si on le suppose séparé (cela signifie que Δ_X = {(x, x) | x ∈ X} est fermé dans le « produit fibré » X × _YX ; c'est toujours vrai si X est séparé), on peut montrer qu'il existe une variété algébrique X′ dans laquelle X se plonge comme sous-variété ouverte de manière que f se prolonge en un morphisme fini de X′ dans Y. Ce résultat, profond et difficile, est connu sous le nom de théorème principal de Zariski.

Un point x d'une variété algébrique X est dit normal si l'anneau local O_X,x est intègre et intégralement clos. Sur le corps des complexes, cela revient à dire que x est un point normal de X^an, c'est-à-dire que toute fonction analytique définie seulement aux points réguliers voisins de x et bornée se prolonge en une fonction analytique définie dans un voisinage de x. Un point régulier est normal ; sur une courbe la réciproque est vraie, mais pas en dimension plus grande. Par exemple, le sommet O du cône d'équation z² = x²+ y² dans k³ est normal sans être régulier (cf. chap. 3 ). En un point normal x, chaque composante irréductible de l'ensemble S des points singuliers est de codimension au moins 2 ; par exemple, si X est une courbe, x a un voisinage qui ne contient aucun point singulier ; si X est une surface, il existe un voisinage de x qui ne contient pas d'autre singularité que x.

Soit X une variété algébrique affine intègre, d'algèbre A. On démontre que la clôture intégrale A∼ de A (ensemble des éléments du corps K(X) qui sont entiers sur A ; cf. anneaux commutatifs) est finie sur A ; il lui correspond une variété algébrique affine X∼ dont tous les points sont normaux, munie d'un morphisme fini X∼ → X. On généralise ce résultat en associant à toute variété réduite X une variété normale X∼ et un morphisme π : X∼ → X fini et surjectif qui induit un isomorphisme de X − π^-1(Z) sur X − Z en désignant par Z l'ensemble des points de X qui ne sont pas normaux (c'est un fermé sans point intérieur) ; les variétés X∼ et X sont birationnellement équivalentes. Lorsque X est une courbe, X∼ est une courbe sans point singulier ; par exemple si X est unicursale et affine, X∼ est isomorphe à k, et π donne une représentation paramétrique de X.

Il est beaucoup plus difficile d'éliminer d'une manière analogue les singularités des variétés de dimension plus grande. Ce problème a été résolu par S. Abhyankar pour les surfaces et par H. Hironaka pour les variétés de dimension quelconque sur un corps de caractéristique 0 ; on associe à une variété algébrique X une variété X′ sans point singulier et un morphisme surjectif ϕ : X′ → X (non fini en général) qui est une équivalence birationnelle[...]