GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Faisceaux cohérents et cohomologie
Les méthodes cohomologiques sont, comme dans la théorie des espaces analytiques, un des outils les plus puissants de la géométrie algébrique (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes et topologie - Topologie algébrique). La topologie de Zariski permet de développer une théorie de la cohomologie à valeur dans les faisceaux algébriques cohérents sur les variétés algébriques.
Considérons une variété algébrique (X, OX). On définit un faisceau de OX-modules F, ou faisceau algébrique sur X, en associant à chaque ouvert U de X un OX(U)-module F(U) et en se donnant, pour U ⊂ V, des opérations de restriction F(V) → F(U) « semi-linéaires » relativement à celles de OX. Ces données sont soumises à des axiomes (1) et (2) analogues à ceux énoncés au chapitre 3 pour les faisceaux d'anneaux. La fibre :
On peut montrer que le fait, pour un faisceau algébrique F sur la variété affine X, d'être isomorphe à un faisceau M∼, où M est un A-module, est une propriété locale. On peut donc définir une propriété correspondante sur toute variété algébrique. Nous dirons qu'un faisceau algébrique F sur une variété algébrique X est cohérent s'il existe un recouvrement de X par des ouverts affines Ui d'algèbres Ai et des Ai-modules de type fini Mi tels que la restriction de F à Ui soit isomorphe à M∼i pour tout i. Par exemple, si π : E → X est un fibré vectoriel algébrique localement trivial (cf. topologie - Topologie algébrique), on lui associe un faisceau cohérent E dont la valeur dans un ouvert U est l'ensemble des morphismes σ : U → E tels que π ∘ σ soit l'injection canonique de U dans X (« sections de E au-dessus de U ») ; le faisceau E est même localement libre, c'est-à-dire qu'on peut choisir les ouverts Ui de manière que E |Ui ≃ M∼i où Mi est un module libre de type fini.
À un faisceau algébrique cohérent F sur une variété algébrique X, on associe les groupes de cohomologie Hn(X,F) (n ∈ N) (cf. topologie - Topologie algébrique) ; on a H0(X, F) = F(X). Si X est affine, Hn(X, F) = 0 pour n ≥ 1 et pour tout faisceau cohérent F ; cette propriété (analogue au théorème B de Cartan en géométrie analytique, cf. fonctions analytiques Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes) caractérise les variétés algébriques affines.
Pour étudier la cohomologie d'une sous-variété fermée de l'espace projectif Pr(k), on utilise le faisceau fondamental O(1) ainsi défini. Désignons par π l'application canonique kr+1 − {O} sur Pr(k), et considérons la sous-variété algébrique E de Pr(k) × kr+1 définie par les conditions ξ = 0 ou ξ ≠ 0 et π(ξ) = x(x ∈ Pr(k), ξ ∈kr+1), et obtenue en faisant « éclater O » dans kr+1 (cf. pour le cas r = 1) ; c'est un sous-fibré vectoriel de rang 1 du fibré trivial Pr(k) × kr+1 de base Pr(k) et de fibre kr+1. Le faisceau O(1) des sections du fibré[...]
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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
Classification
Médias
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Cissoïde
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Paraboloïde
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