GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
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Intersections
Définitions
Soit Y un fermé irréductible d'une variété algébrique X. La codimension de Y dans X est définie comme la borne supérieure des entiers n tels qu'il existe une suite strictement croissante (F0, F1, ..., Fn) de fermés irréductibles de X avec F0 = Y ; si X est irréductible :

Supposons maintenant que X est une variété sans point singulier, et considérons des fermés irréductibles Y et Z de X ; si W est une composante irréductible de Y ∩ Z, on a l'inégalité suivante :



(1) Soit z ∈ Zm(X) et z′1, z′2 ∈ Zm′(X) ; si z.z′1 et z.z′2 sont définis, il en est de même de z.(z′1 + z′2) et z.(z′1 + z′2) = z.z′1 + z.z′2.
(2) Commutativité : z.z′ = z′.z (si l'un des membres est défini, l'autre l'est aussi).
(3) Associativité : z.(z′.z″) = (z.z′).z″ lorsque les deux membres sont définis.
Soit z ∈ Zm(X) et T ∈ Zn(Y) où X et Y sont des variétés sans singularité ; on définit un cycle produit z × t ∈ Zm+n(X × Y)
Alors si z.z′ et t.t′ sont définis, il en est de même de (z × t ) . (z′ × t′) et donc (z × t ) . (z′ × t′) = (z.z′) × (t.t′).
Soit f : X → Y un morphisme de variétés irréductibles sans singularité. On définit l'image directe f* : Zm(X) → Zm+r(Y) (r = dim Y − dim X) ; c'est une application additive telle que :

La théorie des intersections utilise diverses notions d'équivalence de cycles (linéaire, algébrique, numérique ; cf. courbes algébriques) ; ces relations d'équivalence sont compatibles avec l'addition des cycles et avec le produit d'intersection (et même avec les opérations f* et f*). Si z et z′ sont des cycles quelconques sur une variété X, le produit z.z′ n'est pas défini en général, mais il existe un cycle z′1 équivalent à z′ qui coupe proprement z ; il en résulte une loi quotient partout définie. Les propriétés (1), (2) et (3) montrent que l'ensemble des classes de cycles a une structure d'anneau commutatif.
Théorème de Riemann-Roch
Soit F un faisceau cohérent sur une variété algébrique projective X sans singularité. La caractéristique d'Euler-Poincaré de F est définie par :

Le théorème de Riemann-Roch exprime χ(X, F) au moyen de classes de cycles liées à F et à X jouant le rôle de classes de Chern (cf. topologie - Topologie algébrique). Par exemple, si L est un faisceau localement libre de rang 1, il s'interprète comme le faisceau des sections d'un fibré linéaire L ; si s est une section rationnelle de L, on lui associe un diviseur (s) = (s)0 − (s)∞, c'est-à-dire un cycle de codimension 1 sur X. On désigne par (s)0 l'image réciproque par s de la section nulle de L ; (s)∞, se construit de même à l'aide de 1/s. Lorsque X ⊂ Pr(k) et que L = OX(1) est le faisceau fondamental, (s) est l'intersection de X avec un hyperplan de Pr(k). Lorsque s varie, le diviseur (s) reste dans une même classe pour l'équivalence linéaire, et cette classe D caractérise L à isomorphisme près (première classe de Chern).
Si X est une courbe, le théorème de Riemann-Roch donne, pour un faisceau L localement libre de rang 1 :

Supposons maintenant que X est une surface ; la formule de Riemann-Roch s'écrit :

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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
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Autres références
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ALGÈBRE
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Voir aussi
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