GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

Groupes algébriques

On appelle groupe algébrique une variété algébrique G munie d'un morphisme m : G × G → G tel que pour toute variété algébrique T, l'application (u, v) ↦ m ∘ (u, v) soit une loi de groupe sur l'ensemble G(T) des morphismes de T dans G ; si T est une variété affine, d'algèbre A, on écrit souvent G(A) au lieu de G(T) ; par exemple si T est la variété réduite à un point avec l'algèbre k, G(T) = G(k) s'identifie à l'ensemble des points de G (cf. chap. 2), et on voit que m définit sur cet ensemble une structure de groupe. La théorie des groupes algébriques est assez analogue à celle des groupes de Lie, mais ses méthodes sont différentes.

Comme premiers exemples de groupes algébriques, citons le groupe additif G_a, c'est-à-dire la droite affine (k, k[t]) munie de l'addition comme loi, et le groupe multiplicatif G_m, c'est-à-dire la variété affine (k − {0}, k[t, 1/t]) munie de la multiplication ; on démontre que tout groupe algébrique affine de dimension 1 qui est connexe et réduit est isomorphe à G_a ou à G_m. L'ensemble GL(n,k) des matrices carrées inversibles d'ordre n est un ouvert affine dans M(n, k) ⊂ K^n×n, défini par det (u_ij) ≠ 0 ; la multiplication des matrices en fait un groupe algébrique affine. Tout groupe algébrique affine s'identifie à un sous-groupe fermé d'un GL(n, k) ; les groupes classiques sont des exemples de groupes algébriques (cf. groupes - Groupes classiques et géométrie).

On peut également définir la notion d'opérations algébriques d'un groupe algébrique sur une variété algébrique. La théorie des groupes algébriques affines, édifiée par A.  Borel, repose sur le théorème suivant :

Considérons un groupe algébrique affine G résoluble et connexe, qui opère sur une variété complète X. Il existe un point de X invariant par les opérations de G.

En appliquant ce résultat à un sous-groupe algébrique résoluble et connexe de GL(n, k) opérant sur la « variété des drapeaux » de kⁿ, on trouve qu'un tel sous-groupe est conjugué d'un sous-groupe formé de matrices triangulaires (théorème de Lie-Kolchin). On appelle sous-groupe de Borel d'un groupe algébrique affine G tout sous-groupe fermé résoluble connexe maximal ; les sous-groupes de Borel sont conjugués par automorphismes intérieurs. Si B est un sous-groupe de Borel de G, l'espace homogène G/B est une variété algébrique projective ; les sous-groupes H qui contiennent un sous-groupe de Borel (sous-groupes paraboliques) sont caractérisés par le fait que G/H est une variété complète.

À l'opposé des groupes affines se trouvent les variétés abéliennes, c'est-à-dire les groupes algébriques connexes réduits qui sont complets en tant que variétés algébriques. Si A est une variété abélienne, c'est une variété projective et sa loi de groupe est commutative. Lorsque le corps de base k est celui des nombres complexes, l'espace analytique A^an associé à une variété abélienne A est un tore complexe Cⁿ/Γ (Γ sous-groupe additif discret de rang 2 n) ; on peut caractériser les tores complexes qui proviennent d'une variété abélienne par l'existence d'une forme de Riemann (c'est-à-dire une forme hermitienne positive non dégénérée sur Cⁿ× Cⁿ dont la partie imaginaire prend des valeurs entières sur Γ × Γ). Tout groupe algébrique connexe réduit G contient un sous-groupe affine connexe distingué H tel que le quotient G/H soit une variété abélienne.

À une variété algébrique complète X on associe des variétés abéliennes intéressantes : la variété de Picard et la variété d'Albanese. La première a pour ensemble sous-jacent l'ensemble des classes pour l'équivalence linéaire de diviseurs algébriquement équivalents à 0 sur X ;[...]