GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

L'histoire des courbes planes est intimement liée à l'histoire et aux développements du calcul infinitésimal, et les premiers résultats obtenus au xvii^e siècle sont directement issus de considérations géométriques et cinématiques (cf. calcul infinitésimal – Histoire). Les courbes dans l'espace à trois dimensions (dites à « double courbure ») ont été étudiées par Clairaut (1731). C'est Monge qui, dans un mémoire présenté en 1771, introduisit les notions fondamentales de rayon de courbure et de surface réglée développable engendrée par les tangentes à une courbe gauche. En 1826, Cauchy définit la normale principale et donna des expressions de la courbure et de la torsion. Enfin, Frénet (1847) et Serret (1850) démontrèrent l'équivalent des formules qui portent leur nom.

Les surfaces, pour leur part, ont été au xviii^e siècle une occasion naturelle de développer les fonctions de plusieurs variables. Euler, Monge admettent implicitement l'existence du plan tangent, qui est établie par Dupin en 1813 et reprise par Cauchy (1826). L'étude de la courbure entreprise par Euler (1760), qui introduisit les directions principales, a été approfondie par Meusnier (1776), Monge (1784) qui introduisit les lignes de courbure et Dupin (1813) qui introduisit les directions conjuguées et l'indicatrice qui porte son nom.

La contribution fondamentale de Gauss (Disquisitiones circa superficies curvas, 1827) donna un nouveau visage à la géométrie différentielle. Il utilisa une représentation paramétrique des surfaces (amorce de la notion de carte locale) et dégagea le caractère intrinsèque de la courbure totale ; tous les résultats du chapitre 6 lui sont dus. Enfin, le tournant décisif est dû à Riemann (Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie, 1854) qui surmonta les difficultés rencontrées pour donner une définition globale mathématiquement satisfaisante des courbes et des surfaces en introduisant la notion de variété à n dimensions.

On se bornera dans cet article à l'étude des courbes et surfaces plongées dans l'espace euclidien à deux ou trois dimensions. Les définitions correctes exigent l'emploi du théorème des fonctions implicites, c'est pourquoi on introduira d'abord ici la notion d'arc paramétré, dont l'image est une trajectoire, puis on effectuera l'étude locale ; la notion de courbe s'obtiendra ensuite en « recollant » de manière régulière une réunion de trajectoires. On définira de même les surfaces en recollant entre elles des images de représentations paramétriques régulières ; on introduira les deux formes fondamentales (l'ensemble de ces deux formes définit localement la surface à un déplacement euclidien près) et la courbure totale (qui ne dépend que de la première forme fondamentale). Cette courbure totale joue un grand rôle, tant dans l'étude locale (position par rapport au plan tangent) que globale (caractéristique d'Euler-Poincaré) des surfaces.

Sur quelques propriétés de l'espace euclidien

La structure E₃, d' espace euclidien de R³ est définie par le choix du produit scalaire usuel pour lequel la base canonique ε₁ = (1, 0, 0), ε₂ = (0, 1, 0), ε₃ = (0, 0, 1) est orthonormée (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie) ; la norme de X = (x, y, z) est alors :