GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Exemples

Considérons le « trèfle à quatre feuilles » :

Soit maintenant, pour t ∈ R, l'arc paramétré :

Points réguliers

Soit f : I → E₃ un arc paramétré. On appelle vitesse à l'instant t le vecteur dérivé :

Si (df/dt)(t) n'est pas nul et si t est un point intérieur à I, la droite portant le vecteur vitesse s'appelle la tangente en M à la trajectoire. Si I = [a, b], on dit que l'arc est fermé lorsque f (a) = f(b) ; remarquons que, même si en tout point la dérivée est non nulle, la trajectoire peut ne pas avoir de tangente en f(a) (par exemple si x = cos t cos 2 t, y = sin t cos 2 t pour π/4 ≤ t ≤ 3 π/4).

Si t est intérieur à l'intervalle I et si f ′(t) ≠ 0, on dit que le point f (t) est un point régulier de la trajectoire ; cette propriété se conserve par changement de paramètre admissible. Il résulte alors du théorème des fonctions implicites (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables) qu'il existe un intervalle I₁ ⊂ I contenant t tel que la restriction de f à I₁, soit injective : par exemple, tous les points du cercle x = R cos t, y = R sin t sont des points réguliers et la restriction de f à

Pour un arc paramétré, le vecteur d²f/dt² représente l' accélération. Dans un changement de paramètre admissible, on a, pour g(τ) = f (t) :

En un point régulier, désignons par p le plus petit entier ≥ 2 tel que le vecteur d^pf/dt^p soit non nul et non colinéaire au vecteur vitesse df/dt ; au voisinage d'un tel point, la trajectoire présente l'aspect indiqué sur la figure : le point est dit ordinaire si p est pair ; si p est impair, la trajectoire « traverse » la tangente au voisinage du point et on dit qu'il y a inflexion. Le cas où df/dt et d²f/dt² sont colinéaires se ramène au précédent, car on peut trouver, dans un intervalle I₁ ⊂ I contenant t[...]