GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Surfaces régulières

On appellera surface régulière de classe C^k, k ≥ 1, de l'espace euclidien E₃ un sous-ensemble S ⊂ E₃ possédant la propriété suivante : Tout point de S est centre d'une boule ouverte B de E₃ telle qu'il existe une application ϕ de classe C^k d'un ouvert U de R² dans E₃ :

de rang 2 en tout point de U, qui soit un homéomorphisme de U sur S ∩ B. Si ϕ = (ϕ₁, ϕ₂, ϕ₃), où ϕ₁, ϕ₂ et ϕ₃ sont des fonctions numériques de classe C^k, la condition sur le rang signifie que la matrice :

est de rang 2, ou encore que le produit vectoriel :

est un vecteur non nul.

L'application ϕ est appelée une représentation paramétrique vraie, ou régulière, de V = S ∩ B. Il résulte alors du théorème des fonctions implicites qu'au voisinage de chaque point de S on peut exprimer l'une des coordonnées comme fonction de classe C^k des deux autres, l'application ainsi définie étant de rang 2. Si (ϕ_i, U_i) et (ϕ_j, U_j) sont deux représentations paramétriques telles que V_ij = ϕ_i(U_i) ∩ ϕ_j(U_j) ne soit pas vide, le changement de paramètre ϕ_j^-1∘ ϕ_i est un difféomorphisme de classe C^k de ϕ_i^-1(V_ij) sur ϕ_j^-1(V_ij). Ces considérations conduisent directement à la notion de variété différentiable générale.

Par exemple, pour la sphère S de centre O et de rayon 1, la représentation paramétrique :

n'est pas régulière aux pôles. Par contre, au moyen d'une projection stéréographique de pôle (P(0, 0, 1), on définit une application de classe C^k de R² sur S − {P} :

qui est un homéomorphisme. De même, l' inversion de pôle P′(0, 0, − 1) applique R² sur S − {P′} :

dans R² − {O}, le changement de paramètre est l'inversion de pôle O et de puissance 1 :

En utilisant le fait que S est compacte (fermée et bornée dans R³), on peut montrer qu'il n'existe aucune représentation paramétrique régulière de la sphère tout entière.

De manière générale, soit f une fonction numérique de classe C^k définie dans E₃ ; si a ∈ f (E₃) est tel que f soit de rang 1 (c'est-à-dire que sa différentielle ne s'annule pas) en tout point de f^-1(a), alors le théorème des fonctions implicites entraîne que l'ensemble f ^-1(a) est une surface régulière. Par exemple, la sphère est définie par l'équation :

S'il existe des points de f^-1(a) où la différentielle s'annule, on dit que f^-1(a) est une surface avec singularités ; par exemple le cône x² + y² − z² = 0, vu au chapitre 2, a l'origine pour point singulier (sommet du cône).

Comme exemples importants de surfaces régulières, on a notamment les quadriques (à l'exclusion du cône) définies par une équation :

où f est un polynôme de degré 2, par exemple l'hyperboloïdeà une nappe :

il admet la représentation paramétrique :

qui n'est pas régulière, car non bijective. Par contre, cette représentation paramétrique définit un difféomorphisme de S₁ × R sur la surface, en désignant par S₁ le cercle de centre O et de rayon 1. Un autre exemple est le paraboloïde hyperbolique (« selle de cheval ») d'équation :

qui est difféomorphe à R².

On dit qu'une surface S est réglée si par tout point de S passe au moins une droite entièrement contenue dans S ; une telle droite est appelée une génératrice de la surface. Par exemple, l'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique sont engendrés par deux familles à un paramètre de droites : par chaque point passe une génératrice de chaque famille.

Parmi les autres surfaces d'un type particulier, notons les surfaces de révolution : une surface S (régulière ou avec singularités) est dite de révolution autour d'un axe D si toute rotation d'axe D transforme S en elle-même. Ainsi, si M est un point de S qui n'appartient pas à D, le cercle d'axe D passant par M est entièrement situé dans S ; on dit qu'un tel cercle est un parallèle de la surface. De même, on appelle méridien les intersections de S avec les plans passant par D ; bien entendu, la terminologie précédente généralise celle adoptée traditionnellement pour la sphère qui est de révolution autour de tout axe passant par son centre. Par exemple, pour a = b, l'hyperboloïde à une nappe est de révolution autour de l'axe Oz ; c'est la surface engendrée par la rotation d'une droite autour d'un axe non coplanaire et les méridiens sont des hyperboles. Le tore est défini par la rotation d'un cercle autour d'une droite de son plan ne le rencontrant pas. Il admet la représentation paramétrique (non régulière, parce que non bijective) :

cette représentation paramétrique définit un difféomorphisme de S₁ × S₁ sur le tore, en désignant toujours par S₁ le cercle de rayon 1.

Plan tangent

Soit M un point d'une surface régulière (ou un point régulier d'une surface avec singularités). Si (ϕ, U) est une représentation paramétrique régulière au voisinage de M, l'image de R² par l'application affine T_Mϕ tangente à ϕ au point m = ϕ^-1(M) (cf. chap. 1) est indépendante du choix de la représentation paramétrique régulière : cette image est le plan, passant par M, engendré par les vecteurs :

appelé plan tangent à la surface en M. On le désignera par T_MS. Ce plan tangent est l'ensemble engendré par les tangentes en M aux courbes régulières passant par ce point et tracées sur S. De manière précise, cela signifie que, pour tout arc paramétré régulier γ tel que γ(t₀) = M dont la trajectoire est contenue dans S, le vecteur vitesse (dγ/dt)(t₀) d'origine M appartient au plan tangent ; de plus, si ϕ : U → S, U ⊂ R² est une représentation paramétrique de S, l'application γ se factorise localement sous la forme γ = ϕ ∘ f, où f est un arc paramétré de U, c'est-à-dire que l'arc paramétré est défini par u = f₁(t), v = f₂(t) si f = (f₁, f₂). En particulier les vecteurs (∂ϕ/∂u)(m) et (∂ϕ/∂v)(m) correspondent respectivement à v = constante et u = constante. Réciproquement, pour tout vecteur V ∈ T_MS, il existe une application f : I → U telle que le vecteur vitesse :

soit égal au vecteur V.

Si la surface est réglée, toute génératrice passant par M appartient au plan tangent ; en particulier, s'il passe par M deux génératrices distinctes, elles engendrent le plan tangent : c'est ce qui se produit pour l'hyperboloïde à une nappe et pour le paraboloïde hyperbolique. Dans le cas particulier où le plan tangent est le même tout le long de chaque génératrice, on dit qu'on a une surface réglée développable.

Examinons les différentes surfaces réglées développables. Si toutes les génératrices passent par un point fixe, on a un cône ; si elles sont parallèles à une direction fixe, on a un cylindre. Un autre exemple très important s'obtient à partir des tangentes à une courbe : l'ensemble des tangentes à une courbe régulière engendre une surface développable. On peut montrer que la surface développable la plus générale est formée de nappes de surfaces coniques, cylindriques et de tangentes à des courbes gauches, ces nappes étant attachées les unes aux autres le long d'une génératrice (deux nappes se « recollant » le long d'une génératrice ont même plan tangent).

Position par rapport au plan tangent

Au voisinage d'un point M₀(x₀, y₀, z₀) régulier d'une surface S, on peut exprimer une des coordonnées en fonction des deux autres, par exemple z = g(x, y). Le plan tangent en M₀ est alors défini par :

où m₀ est le point (x₀, y₀) ; par un changement de repère euclidien, on peut ramener M₀ à l'origine des coordonnées, soit x₀ = y₀ = z₀ = 0, le plan tangent en ce point à S étant défini par z = 0, soit (∂g/∂x)(m₀) = 0 et (∂g/∂y)(m₀) = 0. Le nombre z = g(x, y) représente alors la distance « algébrique » du point M (x, y, g(x, y)) de la surface au plan tangent en M₀. La formule de Taylor donne :

où on a adopté les notations de Monge :

le reste R₂ est ici une quantité qui tend vers 0 plus vite que x² + y² quand (x, y) tend vers (0, 0).

Si la forme quadratique associée à la différentielle seconde de g :

est nulle (r = s = t = 0), on dit que le point M₀ est plat ; la surface et son plan tangent ont alors un contact d'ordre supérieur à 1. Par exemple, la surface d'équation z = x³ − 3 xy² (« selle de singe ») a un point plat à l'origine ; elle coupe son plan tangent à l'origine suivant trois droites et traverse ce plan tangent. Par contre, la surface z = x²y², qui présente elle aussi un point plat à l'origine, coupe le plan tangent en ce point suivant deux droites et reste d'un même côté de ce plan tangent.

Si la forme quadratique Q est non nulle, on distingue trois cas :

a) Si rt − s² > 0, la forme Q est définie positive ou négative. Au voisinage de M₀, l'intersection de S et du plan tangent en M₀ se réduit à M₀ et la surface reste d'un même côté de ce plan tangent (elle est localement convexe). C'est le cas de tous les points d'un ellipsoïde. On dit que le point M₀ est elliptique.

b) Si rt − s² < 0, la surface traverse son plan tangent au voisinage de M₀. C'est le cas de tout point d'un hyperboloïde à une nappe ou d'un paraboloïde hyperbolique. On dit que le point est hyperbolique.

c) Si rt − s² = 0, on ne peut rien dire de général. Même si la surface reste localement d'un même côté du plan tangent (point parabolique), l'intersection ne se réduit pas nécessairement à un point. C'est le cas de tout point d'un cylindre elliptique ou parabolique ; l'intersection avec un plan tangent est ici une génératrice.

Une même surface peut présenter des points de nature différente. Par exemple, le tore, dont on a donné une représentation paramétrique ci-dessus, admet des points elliptiques (tels que x² + y² > 1), des points hyperboliques (tels que x² + y² < 1 ; ) et des points paraboliques (tels que x² + y² = 1). L'ensemble des points paraboliques est constitué de deux parallèles au tore, le plus « haut » et le plus « bas », et en un tel point de plan tangent touche le tore tout le long du parallèle correspondant.