GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Courbes tracées sur une surface

Soit C une courbe régulière orientée tracée sur une surface régulière S ; à tout point M de C on va attacher un repère, appelé trièdre de Darboux, obtenu de la manière suivante : soit t, n, b le trièdre de Frénet de la courbe C au point M ; le trièdre de Darboux e₁, e₂, e₃ s'obtient en prenant pour e₃ le vecteur unitaire normal en M à la surface associé à l'orientation de cette surface, et en prenant e₁ = t (et e₂ = e₃ ∧ e₁ pour obtenir un trièdre direct). Si s est l'abscisse curviligne sur C, on a alors les formules :

La courbure normale 1/ρ_n en M est la même pour toutes les courbes tracées sur S qui admettent la même tangente en ce point M ; en effet, 1/ρ_n = e₃. (d²M/ds²), ce qui entraîne que cette courbure normale est égale à ψ(e₁), en désignant par ψ la deuxième forme fondamentale. On en déduit le théorème de Meusnier : Si un plan P pivote autour d'une droite du plan tangent T_MS, alors le centre de courbure (en M) de la section de S par P décrit un cercle passant par le point M. Un point d'une surface S pour lequel la courbure normale est la même dans toutes les directions est appelé un ombilic.

Une courbe tracée sur S est appelée une ligne asymptotique si la courbure normale en chacun de ses points est nulle ; en chaque point, tout vecteur tangent à une telle courbe annule la deuxième forme fondamentale. Par suite, il ne passe de lignes asymptotiques que par les points hyperboliques (deux directions asymptotiques) ou paraboliques (une direction asymptotique). Toute droite tracée sur une surface est une ligne asymptotique.

On appelle lignes de courbure les lignes dont la torsion géodésique en chaque point est nulle, et on montre que cette condition équivaut à dire que les normales à la surface S le long d'une telle courbe engendrent une surface développable ; ces normales sont les tangentes à la courbe décrite par les centres de courbure de la ligne de courbure. En chaque point régulier qui n'est pas un ombilic, il existe deux directions du plan tangent, appelées directions principales, perpendiculaires entre elles, pour lesquelles la courbure normale atteint son maximum 1/R₁ et son minimum 1/R₂ ; les lignes de courbure peuvent aussi être définies comme les courbes tangentes en chaque point aux directions principales. La courbure totale est reliée simplement aux courbures des lignes de courbure par la formule :

Sur une surface dont tous les points sont des ombilics, toutes les courbes sont lignes de courbure ; les seules surfaces possédant cette propriété sont les plans (K = 0) et les sphères (K = 1/R² constant).

On appelle géodésiques les courbes dont la courbure géodésique est nulle, c'est-à-dire dont la normale principale est normale à la surface ; les géodésiques sont définies par un système d'équations différentielles du second ordre, et on démontre que par tout point d'une surface il passe une géodésique et une seule admettant une tangente donnée. De même, par deux points M et M′ de S assez voisins passe une géodésique et une seule : la longueur de l'arc de géodésique MM′ réalise alors le minimum de la longueur des arcs joignant M à M′ (cf. calcul desvariations). Par exemple, les géodésiques du plan sont les droites ; les géodésiques d'une sphère sont les grands cercles, sections de la sphère par les plans passant par le centre, et par deux points non diamétralement opposés passe un tel grand cercle et un seul. Les géodésiques d'un cylindre de révolution sont les parallèles et les hélices circulaires.

On montre que la[...]