GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE CLASSIQUE

Propriétés globales liées à la courbure totale

Soit γ : I → S un arc paramétré d'une surface S. Si X = X(t) est un champ de vecteurs le long de la courbe C = γ(I), on définit la dérivée covariante DX/dt du champ X au point M = γ(t) en projetant le vecteur dX/dt sur le plan tangent T_MS parallèlement à la normale. On dit alors que le champ X se déplace par parallélisme, ou est parallèle, si pour tout t ∈ I la dérivée covariante est nulle. Remarquons que la valeur X(t₀) du champ en un point détermine alors le champ parallèle. En particulier, on dit qu'un arc paramétré est géodésique si sa vitesse se déplace par parallélisme ; une courbe géodésique devient un arc géodésique si on prend pour paramètre l'abscisse curviligne s ou tout autre paramètre t = as + b, a et b constants avec a ≠ 0.

Si la courbure totale n'est pas nulle, le transport par parallélisme le long d'un lacet (c'est-à-dire un arc paramétré γ :[a, b] → S tel que γ(a) = γ(b) ne ramène pas en général le vecteur X(a) à sa position initiale et, par suite, si on considère deux points M et M′, le transport par parallélisme de M à M′ dépend du chemin choisi. En effet, on démontre que la « variation de l'angle » du vecteur X par transport parallèle le long d'un lacet est l'intégrale :

où Σ est la partie de S limitée par le lacet et dσ l'élément d'aire sur S.

D'autre part, on montre que si le lacet γ se compose d'un nombre fini d'arcs différentiables γ_k séparés par des points anguleux où l'angle du vecteur tangent à γ subit une discontinuité θ_i, on a :

formule de Gauss-Bonnet. Dans le cas particulier où γ est un triangle géodésique, c'est-à-dire un triangle curviligne dont les côtés sont des arcs géodésiques, l'intégrale de la torsion géodésique est nulle. Si on désigne par α₁, α₂, α₃ les mesures en radian (comprises entre 0 et 2π) des angles du triangle, on a, puisque ces angles sont les supplémentaires de ceux qui interviennent dans la formule de Gauss-Bonnet :pour le plan on retrouve le résultat classique que la somme des angles d'un triangle est égale à π. Sur une sphère de rayon R, on a :où A est l'aire du triangle. Remarquons que si la courbure totale est négative en tout point de S, alors la somme des angles d'un triangle géodésique est inférieure à π. On retrouve que les surfaces à courbure constante constituent des modèles pour les géométries non euclidiennes de Riemann et de Lobatchewski.

Si on considère maintenant une surface compacte (c'est-à-dire fermée et bornée) sans bord, on montre qu'on peut la trianguler, c'est-à-dire la découper en domaines limités par des triangles curvilignes (pas nécessairement géodésiques). Appliquant la formule de Gauss-Bonnet à chaque triangle et faisant la somme, on obtient, puisque chaque arc est parcouru deux fois en sens contraires :

où n₂, n₁ et n₀ sont respectivement le nombre de triangles, le nombre d'arêtes et le nombre de sommets de la triangulation. Le premier membre étant indépendant de la triangulation, il en est de même du second. Le nombre entier positif :est appelé la caractéristique d'Euler-Poincaré de la surface ; par exemple, pour la sphère il est égal à 2, car :pour le tore, la caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle.

On montre que la caractéristique d'Euler-Poincaré est un invariant topologique de la surface. On montre aussi qu'il existe, sur une surface S, un champ différentiable de vecteurs tangents ne s'annulant en aucun point si, et seulement si, la caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle ; il n'existe donc pas de tel champ sur une sphère.