GÉOMÉTRIE
La généralisation de Riemann
Si la synthèse de Klein avait pu sembler couvrir tout le champ de la géométrie, elle ne portait en fait que sur des espaces « homogènes ». En 1854, dans sa Dissertation inaugurale, Riemann avait proposé une conception plus générale, et, en un sens, plus profonde de la géométrie. Il s'était attaché au « concept général de grandeur de dimension multiple (déjà envisagé, mais de façon beaucoup moins précise, par Grassmann en 1847), comprenant comme cas particulier les grandeurs étendues » et il avait conclu qu'« une grandeur de dimensions multiples est susceptible de différents rapports métriques » et que « l'espace n'est par suite qu'un cas particulier d'une grandeur de trois dimensions ». Se libérant encore plus nettement que Gauss et Lobatchevski de la limitation qu'imposait le lien de la géométrie avec l'espace physique, et allant au-delà de la reconnaissance de la validité de la géométrie de l'angle obtus, Riemann fut amené à définir un espace à partir d'éléments différentiels, en exprimant le carré ds2 de l'élément de distance entre deux points infiniment voisins en fonction des éléments différentiels dx, dy et dz des coordonnées d'un point. Riemann définissait alors un type d'espace très général dont l'intérêt devait notamment apparaître lors de la création par Albert Einstein de la théorie de la relativité générale. Les conceptions de Klein et de Riemann ne furent « raccordées » que par les travaux d'Élie Cartan (1869-1951), qui généralisa la notion d'espace de Riemann par l'introduction d'une connexion définie par un groupe.
Déjà avec Klein, mais plus encore avec Riemann, la notion de géométrie avait connu une mutation profonde, non seulement par les généralisations qu'ils en donnaient, mais aussi par la substitution, dans la conception de la géométrie, à l'intérêt premier porté aux figures, de la considération de la nature même de l'espace. Réalité « neutre », sans « forme », simple réceptacle dans la géométrie classique, l'espace, désormais envisagé comme une structure, était reconnu comme le constituant fondamental de la géométrie, comme son objet premier.
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Écrit par
- François RUSSO : ancien élève de l'École polytechnique, docteur en droit, conseiller à l'U.N.E.S.C.O.
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