PEANO GIUSEPPE (1858-1932)

La critique de l'analyse infinitésimale

Les premiers travaux de Peano sont liés à la rédaction d'un court traité de calcul différentiel et intégral, publié sous la signature de Genocchi (ce dernier a maintes fois déclaré que l'ouvrage était essentiellement dû à son assistant Peano).

Ce remarquable traité contraste avec presque tous les livres similaires de l'époque, où on lisait couramment sous les plumes les plus autorisées des « définitions » telles que : « La différence ou différentielle d'une quantité est l'accroissement ou la diminution instantanée de sa valeur. » Même E. Borel se permet, en 1905, d'écrire : « On appelle dérivée d'une fonction y, ce que devient l'expression du rapport Δy/Δx de l'accroissement correspondant de la variable x lorsque, dans ce rapport exprimé au moyen de x et de Δx, on remplace Δx par 0. »

Face à ce laxisme, l'auteur s'attache à formuler les concepts sans ambiguïté et à analyser le champ de validité des théorèmes fondamentaux de l'analyse réelle. Il donne souvent la première démonstration correcte d'un énoncé « bien connu ». Il a dépisté un grand nombre d'inexactitudes et d'erreurs graves dans les ouvrages de ses prédécesseurs et de ses contemporains. Pour mettre en évidence ces incorrections, Peano se révèle le « maître du contre-exemple ». La construction de telles réfutations n'était pas encore entrée dans les mœurs et suscitait même quelques réprobations. Ainsi, Poincaré écrit : « Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c'était en vue de quelque but pratique ; aujourd'hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères et on n'en tirera jamais que cela. »

Citons les analyses de Peano concernant le reste de la formule de Taylor, à une ou plusieurs variables (il découvre le reste de Young, bien avant cet auteur), la théorie des maxima, le théorème des fonctions implicites, etc. Il signale que la paire de fonctions t ↦ t² et t ↦ t|t| admet un déterminant wronskien identiquement nul, bien que ces deux fonctions ne soient pas linéairement dépendantes. On doit à Peano la démonstration du théorème d'existence des solutions de l'équation différentielle :

où f n'est soumise qu'à l'hypothèse de continuité. Il remarque que cette hypothèse n'assure pas l'unicité locale de la solution. Peano a mis en évidence la distinction entre la continuité partielle et la continuité globale des fonctions de plusieurs variables. Il signale que la fonction f, égale à 0 au point x = 0, y = 0, et à xy/(x² + y²) en dehors de l'origine, est partiellement continue sans être continue par rapport à l'ensemble des deux variables. On trouvera d'autres contre-exemples dus à Peano à l'article calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables.

Indépendamment de H. A. Schwarz, il souligne les difficultés que comporte la définition de l'aire d'une surface à l'aide d'une suite de polyèdres inscrits. Les deux auteurs proposent le même contre-exemple, la « pomme de pin de Schwarz ».

Le joyau le plus célèbre de ces ingénieuses combinaisons est la courbe de Peano qui remplit un carré. Il s'agit de construire une paire (x, y) de fonctions d'une variable réelle t, de sorte que l'image de l'intervalle [0, 1], par l'application t ↦ (x(t), y(t)), soit un carré de R². La figure suggère la construction. Au point de subdivision du segment [0, 1] en 9 parties égales, on associe les 10 points marqués 0, 1, 2, ..., 9. Puis on répète la même construction sur chacun des intervalles de longueur 1/9 obtenus. En poursuivant indéfiniment cette construction, on obtient, par passage à la limite, l'exemple cherché.