GOLDBACH TERNAIRE (CONJECTURE DE)

La conjecture de Goldbach est issue d'un échange de lettres entre Goldbach et Euler datant de 1742. Elle affirme que tout nombre pair ≥ 4 est somme de deux nombres premiers. Elle admet comme conséquence le fait que tout nombre impair ≥ 7 est somme de trois nombres premiers, énoncé qui est connu sous le nom de conjecture de Goldbach ternaire. La conjecture de Goldbach résiste encore à tous les efforts pour la démontrer, bien que Chen (1966) ait réussi à prouver que tout nombre pair assez grand est somme d'un nombre premier et d'un nombre ayant au plus deux facteurs premiers.

La conjecture de Goldbach ternaire est plus facilement abordable : Vinogradov (1937) a prouvé que tout nombre impair suffisamment grand est somme de trois nombres premiers. Mais la borne fournie par la méthode de Vinogradov était beaucoup trop grande, malgré les améliorations ultérieures (le meilleur résultat, dû à Liu et Wang [2002], est que tout nombre ≥ 2 × 10^1 346 est somme de trois nombres premiers), pour qu'on puisse espérer vérifier le résultat général, même avec l'aide de tous les ordinateurs de la planète (il faudrait descendre à 10⁴⁰ pour espérer y arriver). Tout a changé en mai 2013, quand le mathématicien péruvien Harald Helfgott, chercheur au C.N.R.S. détaché au département de mathématiques de l'École normale supérieure, a réussi à faire descendre cette borne à 10²⁹, et à vérifier par ordinateur, avec l'aide de son collaborateur David Platt, que tout nombre impair ≤ 8 875 × 10³⁰ est somme de trois nombres premiers, et donc de démontrer la conjecture de Goldbach ternaire.

La démonstration de Helfgott est l'aboutissement d'une longue série de travaux visant à prouver que tout nombre entier est somme de K nombres premiers. Le premier de ces résultats (Schnirelmann, 1930) ne donnait pas de valeur pour K, et la première valeur explicite a été obtenue par Klimov (1969), avec une valeur astronomique de K (il obtenait K = 6 × 10⁹). En 1995, Ramaré a prouvé que tout nombre pair est somme de six nombres premiers et, en 2012, Terence Tao, Médaille Fields 2006, a prouvé que tout nombre impair est somme de cinq nombres premiers.

Tous les travaux sur la conjecture de Goldbach ternaire reposent sur l'identité suivante :

où

Si on prend pour Λ la fonction valant 1 si n est un nombre premier, et 0 si n n'est pas premier, et si les η_i sont constantes, égales à 1, la somme dans le membre de gauche est exactement le nombre de manières d'écrire N comme une somme de trois nombres premiers, et il suffirait de prouver que l'intégrale est non nulle pour démontrer que N est une somme de trois nombres premiers. Dans la pratique, on préfère utiliser la fonction Λ de von Mangoldt, définie par Λ(n) = 0 si n n'est pas une puissance d'un nombre premier, et Λ(n) = log p si n est une puissance d'un nombre premier p. La raison est que la fonction :

a de bonnes propriétés, car elle est égale à ζ' /ζ, où ζ n=1 est la fonction zêta de Riemann définie par :

sur le demi-plan complexe Re(s) > 1, et prolongée à tout le plan complexe. Le prix à payer est qu'on a introduit des puissances de nombres premiers et qu'il faut prouver que l'intégrale est suffisamment grande pour pouvoir conclure que N est somme de trois nombres premiers. Tout l'art est alors de choisir le paramètre x (de l'ordre de N/2) et les fonctions η₁, η₂, η₃ de manière à assurer que l'intégrale est grande.

L'estimation de l'intégrale se fait en découpant le segment [0, 1] en petits segments centrés en des nombres rationnels. On distingue les arcs majeurs, segments centrés en un rationnel de dénominateur « petit » (pour Helfgott, cela signifie ≤ 300 000), et les arcs mineurs (tous les autres). Le plus gros du travail consiste à comprendre ce qu'il se passe sur les arcs majeurs. Pour ce[...]