FREGE GOTTLOB (1848-1925)

La deuxième idéographie

Le premier tome s'ouvre sur un nouvel exposé de l'idéographie. Il fallait en effet caractériser par de nouveaux symboles les extensions de concepts et codifier les pratiques algébriques décrites dans les Fondements. Mais, plus que de la définition de nouveaux signes, ce préambule tire son importance des rudiments de syntaxe logique et de sémantique qu'il contient et auxquels Frege a consacré divers articles publiés simultanément.

Une difficulté majeure de l'idéographie était de justifier la présence, au sein d'un même calcul, des connecteurs logiques, dont les arguments et la valeur sont des valeurs de vérité, et des prédicats, dont les arguments sont des individus et les valeurs une valeur de vérité. C'est dans l'article Fonction et concept (Funktion und Begriff, 1891) que Frege mit en évidence leur analogie. En fait, celle-ci n'apparaît pleinement qu'au niveau syntaxique. Le concept, comme toute fonction, a pour image dans la langue logique un signe que l'on dit insaturé et où l'on doit voir la place vide de l'argument, soit Φ ( ). Cette place vide peut être signalée par une lettre syntaxique, appartenant par exemple à un alphabet différent ; et le procédé est nécessaire chaque fois que l'on veut étudier dans la métalangue un caractère syntaxique d'un élément de la langue. La syntaxe logique naquit de ces finesses d'écriture avant d'atteindre la maturité d'une science avec les travaux de Gödel et de Carnap.

L'article Sens et dénotation (Sinn und Bedeutung, 1892) apprend à distinguer le sens d'une expression – ce par quoi deux éléments de la langue s'opposent ou sont synonymes – de la dénotation, qui est la référence de l'expression – ce sur quoi porte la langue. Ce faisant, Frege séparait définitivement la sémantique logique, théorie des dénotations et forme fruste de la théorie des modèles, de la sémantique des linguistes où les « choses signifiées » ont le statut ambigu de réalités ontologiques et intralinguistiques tout à la fois. On trouverait la même rigueur sémantique dans la critique à laquelle Frege soumit le formalisme de Hankel.

L'antinomie

Malheureusement, Frege ne parvint pas à composer un système logique impeccable, et la loi V des Lois fondamentales donna à B. Russell l'occasion de formuler l'antinomie des classes en posant la question suivante : si un concept est défini pour tout argument, quelle est la valeur (vrai ou faux) du concept être une classe qui n'appartient pas à soi-même, si on lui donne sa propre extension pour argument ? Frege ne sut jamais résoudre cette difficulté, tout en maintenant que la solution était dans la voie où il s'était avancé.

Les obstacles auxquels se heurtait la tentative frégéenne eurent pour conséquence la séparation de la logique (calcul pur des prédicats) et de la théorie des ensembles. Celle-ci requiert une langue enrichie de deux constantes de prédicat, l'égalité et l' appartenance. Le sens de ce dernier prédicat binaire est inclus dans les axiomes qui régissent son emploi et constituent la théorie formelle des ensembles. Ainsi l'histoire a-t-elle tranché l'antinomie en plaçant l'appartenance et l'égalité parmi les signes primitifs mathématiques. Le programme logiciste, s'il devait jamais être repris, aurait aujourd'hui pour but de construire ces deux constantes prédicatives. On sait que l'égalité est considérée, selon les exposés, tantôt comme une constante logique, tantôt comme une constante mathématique, témoignant que le débat est encore ouvert à ce jour.

Les recherches logiques

Les Recherches logiquesde Frege ont été publiées, les deux premières sous forme d'article entre 1916 et 1925, la troisième après sa mort. Elles traitent de la proposition, de la vérité et du calcul propositionnel ; une quatrième recherche, inachevée, devait examiner la quantification. On peut y voir le dernier effort de synthèse des résultats purement logiques et incontestables acquis par Frege. Deux traits caractérisent ce bilan. En premier lieu, Frege n'y mentionne plus l'idée que les valeurs de vérité sont des objets analogues aux autres, tels les extensions de concepts ou les individus. Or cette thèse avait une responsabilité majeure dans la construction de l'antinomie. D'autre part, Frege développe une méthode constructiviste en logique même, renonçant, semble-t-il, aux lois logiques fondamentales des idéographies précédentes. Était-ce l'ébauche d'une troisième idéographie ? On mesurera l'importance des changements signalés en rappelant qu'ils correspondent très exactement aux objections principales que Wittgenstein souleva contre Frege dans le Tractatus logico-philosophicus, parmi quelques magnifiques éloges.

Guidé par le désir d'étendre le caractéristique algébrique afin qu'y soient exprimées dans un langage homogène les propositions arithmétiques et leur déduction, Frege crée de toutes pièces la théorie de la quantification. De ce point central de l'œuvre émanent le calcul des prédicats, la théorie des extensions de concept et la définition des applications.

Le logicisme de Frege est contenu dans l'affirmation que l'arithmétique est une dépendance de la logique. Mais on peut l'entendre en deux sens. Selon le premier, les nombres dits naturels sont constructibles par raison pure, et cette doctrine a triomphé en un certain sens depuis le début du siècle, saug à admettre quelques axiomes spécifiques concernant la notion d'ensemble en sus de la logique. Selon le second, la logique est implicitement définie comme l'armature commune à tous les langages, naturels ou idéographiques. Or c'est là l'origine d'une double illusion. En premier lieu, l'occurrence d'un même type de raisonnement en diverses langues, telles la langue commune et la langue arithmétique, n'est pas une garantie suffisante de son caractère fondamental. Ainsi Frege n'a pas achevé l'analyse de l'identité, mal distinguée de l'équivalence logique et de l'équivalence modulo. En second lieu, le logicisme engendre l'illusion qu'on pourrait étendre de manière continue la caractéristique logique à la science de l'univers, lui associer en quelque sorte un modèle universel où coexisteraient entités physiques et entités mathématiques. Or c'est là le ressort de l'antinomie, qui porte moins atteinte à l'œuvre de Frege qu'à l'illusion, qui lui est liée, d'une langue ayant la régularité des symboliques artificielles et le domaine universel des langues communes.

Aussi la philosophie analytique, d'abord tentée de soumettre la philosophie au canon des langues bien faites, s'est-elle bientôt tournée vers l'analyse interne et non réductrice des langues communes.

Si l'on veut mesurer au plus juste l'apport incontesté de Frege, on dira que l'idéographie et la construction des cardinaux ont introduit en logique la méthode directe de la déduction formelle, ce par quoi elle devint calcul, et donné enfin un organonà la mesure de la science moderne.