GROUPES (mathématiques) Généralités
On se propose de présenter ici les notions fondamentales de théorie des groupes qui interviendront constamment dans la suite des articles qui traitent des groupes. Ces articles contiennent un très grand nombre d'exemples, c'est pourquoi cet exposé introductif n'explicite que quelques groupes utilisés aussi ailleurs, notamment en cristallographie, en chimie, en linguistique.
La structure de groupe
Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition interne :
(a) Elle est associative, c'est-à-dire que, si a, b, c sont des éléments de G, on a :
(b) Elle admet un élément neutre, c'est-à-dire qu'il existe un élément e ∈ G (nécessairement unique, manifestement) tel que, pour tout a ∈ G :
(c) Tout élément a de G admet un symétrique (en notation multiplicative on dira un inverse), c'est-à-dire qu'il existe un élément de G, noté a-1, tel que :
On ne se préoccupera pas ici de savoir si l'on peut affaiblir ces axiomes en jonglant avec des hypothèses « à droite » et « à gauche » dans (b) et dans (c). Le groupe est dit commutatif, ou abélien, si la loi de composition est commutative, c'est-à-dire a * b = b * a pour tout couple d'éléments de G. Cette loi est alors souvent (mais pas toujours) notée additivement, par le signe + ; l'élément neutre est désigné par 0 et le symétrique d'un élément a est noté − a. C'est le cas, par exemple, pour la loi de groupe sous-jacente à une structure d'anneau ou d'espace vectoriel. On appelle ordre d'un groupe fini G le nombre |G| de ses éléments.
Dans ce qui suit, sauf mention explicite d'une autre notation, la notation multiplicative sera adoptée systématiquement, ce qui signifie que l'on notera x, y, ou plus simplement xy, l'image du couple (x, y) par la loi de composition. L'élément neutre sera désigné par 1. Lorsque plusieurs groupes seront considérés simultanément, le même symbole 1 désignera donc plusieurs objets mathématiques distincts, ce qui paraît en contradiction avec les règles logiques les plus simples (cf. par exemple la formule (2) ci-dessous) ; en fait, cela n'est guère gênant, car le contexte mathématique permet toujours d'éviter toute ambiguïté. Ainsi, dans la formule (2), puisque f est une application de G dans G′, le symbole 1 dans la partie gauche de la formule représente l'élément neutre de G tandis que le 1 de droite représente l'élément neutre de G′.
Remarquons maintenant que, si l'on multiplie à gauche par a-1 les deux membres de l'égalité ax = ay, on obtient, en applicant l'associativité, 1x = 1y, d'où x = y. On a ainsi obtenu la règle de simplification dans un groupe : si a, x, y sont des éléments d'un groupe, on a les équivalences :
Une démonstration tout à fait analogue montre que, dans un groupe, les équations linéaires, du type ax = b, ou xa = b, ont toujours une solution unique ; par multiplication à gauche par a-1, on obtient par exemple que la première a pour solution x = a-1b.
Si x est un élément d'un groupe G et n un entier positif, on notera xn le produit de n éléments égaux à x, et x-n le produit de n éléments égaux à x-1. L'élément x0 étant par définition l'élément neutre, on a donc défini xn pour tout entier relatif n et on vérifie facilement que deux puissances quelconques d'un même élément commutent toujours et que :
Morphismes
Conformément aux définitions générales pour les structures algébriques, on dit qu'une application f d'un groupe G dans un groupe G′ est un morphisme, ou un homomorphisme, de groupe si on a :
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Média
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