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GROUPES (mathématiques) Généralités

Quelques exemples

Dans de nombreux cas, les éléments d'un groupe G seront réalisés comme des bijections d'un ensemble E sur lui-même ; par définition, le produit ab de deux telles bijections est alors la bijection composée obtenue en faisant d'abord b, puis a. L'ensemble Σ(E) de toutes les bijections d'un ensemble E est un groupe, appelé le groupe symétrique de l'ensemble E, pour la loi de composition ainsi définie.

Groupes cycliques

Un groupe G est dit cyclique s'il est engendré par un de ses éléments a. Tout élément de G est ainsi une puissance de a, et G est donc commutatif. Par exemple, le groupe additif Z des entiers relatifs est engendré par l'élément 1 ; car, avec les notations ci-dessus, n = n1. Si G est un groupe cyclique quelconque (on revient à la notation multiplicative), engendré par a ∈ G, l'application :

est un morphisme surjectif de Z sur G. Si ce morphisme est injectif, c'est un isomorphisme. Dans le cas contraire, il existe des entiers n et n′ distincts tels que an = an′ ; si on suppose n′ > n, on en déduit an-n′ = 1. Désignons par p le plus petit entier positif tel que ap = 1 ; les éléments :
sont donc distincts et ce sont les seuls éléments du groupe G, car pour tout entier n on a : an = apq+r = ar si n = pq + r est l'identité de division euclidienne de n par p, avec r ∈ {0, 1, ..., p − 1}. Ainsi tout groupe cyclique infini est isomorphe à Z ; tous les groupes cycliques finis de même ordre p sont isomorphes entre eux. On désignera le groupe cyclique d'ordre p par Cp. On peut le réaliser comme l'ensemble des rotations du plan de centre O et d'« angles » 2 kπ/p, k = 0, 1, ..., p − 1, la loi de groupe étant la composition des rotations, ou encore comme l'ensemble des rotations d'angle 2 kπ/p autour de l'axe Oz dans l'espace à trois dimensions. Remarquons que le groupe multiplicatif des racines p-ièmes de l'unité dans le corps des nombres complexes (cf. nombres complexes) est aussi une réalisation de ce groupe.

Groupes diédraux

Pour n ≥ 3, on appelle groupe diédral Dn le groupe des rotations et des symétries du plan qui conservent un polygone régulier à n sommets. Ce groupe est d'ordre 2 n, car il contient n rotations, qui forment un sous-groupe isomorphe au groupe cyclique Cn et n symétries (par rapport aux n droites joignant les sommets au centre du polygone). Si on numérote les sommets 1, 2, ..., n (en choisissant un « sens de parcours » sur le polygone), le groupe Dn est engendré par la rotation a :

et la symétrie b :
autour de la droite joignant 1 au centre du polygone. Les générateurs a et b vérifient les « relations » :
il en résulte que tout élément du groupe est de la forme ak si c'est une rotation, ou de la forme akb si c'est une symétrie, avec k = 0, 1, ..., n − 1. Ces relations déterminent entièrement le groupe Dn.

On peut donner des réalisations de Dn comme groupe de déplacements de l'espace à trois dimensions, par exemple en prenant pour rotations des rotations autour de l'axe Oz et pour symétries des symétries autour de n droites du plan xOy faisant entre elles des angles égaux ; on peut obtenir une autre réalisation en remplaçant les symétries précédentes par des symétries autour de n plans passant par Oz. En cristallographie, on considère aussi le groupe Dnh d'ordre 4n des déplacements de l'espace à trois dimensions qui conservent un polygone régulier à n sommets du plan xOy ; on peut le réaliser comme le groupe engendré par Dn (dans la réalisation précédente) et la symétrie par rapport à l'origine.

Pour n = 2, les relations (3) définissent un groupe commutatif d'ordre 4, dont les éléments sont 1, a, b, ab, avec a2 = b2 = 1, ab = ba[...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Groupe des symétries du cube - crédits : Encyclopædia Universalis France

Groupe des symétries du cube

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • ALGÈBRE

    • Écrit par
    • 7 143 mots
    La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et...

  • BOREL ARMAND (1923-2003)

    • Écrit par
    • 795 mots

    En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation...

  • BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

    • Écrit par
    • 394 mots

    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...

  • CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)

    • Écrit par
    • 1 402 mots
    • 1 média
    ...valeurs propres d'une matrice symétrique d'ordre supérieur à 3, et il partage avec Binet la découverte de la formule donnant le produit de deux déterminants. Il a été aussi le premier à dégager clairement la notion de groupe de permutations et on lui doit les premiers résultats non triviaux de la théorie des...
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