GROUPES (mathématiques) Généralités
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Quelques exemples
Dans de nombreux cas, les éléments d'un groupe G seront réalisés comme des bijections d'un ensemble E sur lui-même ; par définition, le produit ab de deux telles bijections est alors la bijection composée obtenue en faisant d'abord b, puis a. L'ensemble Σ(E) de toutes les bijections d'un ensemble E est un groupe, appelé le groupe symétrique de l'ensemble E, pour la loi de composition ainsi définie.
Groupes cycliques
Un groupe G est dit cyclique s'il est engendré par un de ses éléments a. Tout élément de G est ainsi une puissance de a, et G est donc commutatif. Par exemple, le groupe additif Z des entiers relatifs est engendré par l'élément 1 ; car, avec les notations ci-dessus, n = n1. Si G est un groupe cyclique quelconque (on revient à la notation multiplicative), engendré par a ∈ G, l'application :
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Groupes diédraux
Pour n ≥ 3, on appelle groupe diédral Dn le groupe des rotations et des symétries du plan qui conservent un polygone régulier à n sommets. Ce groupe est d'ordre 2 n, car il contient n rotations, qui forment un sous-groupe isomorphe au groupe cyclique Cn et n symétries (par rapport aux n droites joignant les sommets au centre du polygone). Si on numérote les sommets 1, 2, ..., n (en choisissant un « sens de parcours » sur le polygone), le groupe Dn est engendré par la rotation a :
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![](/media_src/v10f0984c04.png)
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On peut donner des réalisations de Dn comme groupe de déplacements de l'espace à trois dimensions, par exemple en prenant pour rotations des rotations autour de l'axe Oz et pour symétries des symétries autour de n droites du plan xOy faisant entre elles des angles égaux ; on peut obtenir une autre réalisation en remplaçant les symétries précédentes par des symétries autour de n plans passant par Oz. En cristallographie, on considère aussi le groupe Dnh d'ordre 4n des déplacements de l'espace à trois dimensions qui conservent un polygone régulier à n sommets du plan xOy ; on peut le réaliser comme le groupe engendré par Dn (dans la réalisation précédente) et la symétrie par rapport à l'origine.
Pour n = 2, les relations (3) définissent un groupe commutatif d'ordre 4, dont les éléments sont 1, a, b, ab, avec a2 = b2 = 1, ab = [...]
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Média
Autres références
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ALGÈBRE
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 7 145 mots
La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et... -
BOREL ARMAND (1923-2003)
- Écrit par Pierre CARTIER
- 795 mots
En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation...
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BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)
- Écrit par Bernard PIRE
- 394 mots
Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...
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CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
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...valeurs propres d'une matrice symétrique d'ordre supérieur à 3, et il partage avec Binet la découverte de la formule donnant le produit de deux déterminants. Il a été aussi le premier à dégager clairement la notion de groupe de permutations et on lui doit les premiers résultats non triviaux de la théorie des... - Afficher les 34 références
Voir aussi
- REPRÉSENTATION D'UN GROUPE
- ORBITE, mathématiques
- GROUPE TRANSITIF
- GROUPE SIMPLE
- PRODUIT DIRECT
- GROUPE SEMI-SIMPLE
- OPÉRATION D'UN GROUPE
- GROUPE QUOTIENT
- NOYAU, algèbre
- HOMOMORPHISME
- ISOMORPHISME, mathématiques
- CENTRE, mathématiques
- CONJUGUÉ D'UN ÉLÉMENT
- AUTOMORPHISME
- GROUPE RÉSOLUBLE
- GÉNÉRATEURS SYSTÈME DE
- ESPACE HOMOGÈNE
- RACINES N-IÈMES
- SUITE EXACTE
- GROUPE CYCLIQUE
- GROUPE DIÉDRAL
- CRISTALLOGRAPHIE
- ÉQUIVALENCE RELATION D'
- CLASSE D'ÉQUIVALENCE
- CENTRALISATEUR, mathématiques
- SOUS-GROUPE DISTINGUÉ OU NORMAL
- SUITE DE COMPOSITION
- COMMUTATEUR, mathématiques
- SOUS-GROUPE
- GROUPE SYMÉTRIQUE
- ORDRE D'UN GROUPE
- NORMALISATEUR
- MOT, mathématiques
- GROUPE LIBRE
- IMAGE, algèbre
- JORDAN-HÖLDER SUITE DE
- KLEIN GROUPE DE
- GROUPE NILPOTENT
- SYMÉTRIE, mathématiques
- MORPHISME
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- POLYGONES
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- SYMÉTRIQUE ÉLÉMENT