GROUPES (mathématiques) Généralités
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Relations d'équivalence et quotients
Dans ce qui suit interviendra souvent le fait que l'inverse d'un produit ab de deux éléments d'un groupe est le produit b-1a-1 des inverses en renversant l'ordre ; car, en utilisant l'associativité :
![](/media_src/v10f0985b01.png)
À partir d'un sous-groupe, on peut définir plusieurs relations d'équivalence sur un groupe. Si le sous-groupe vérifie une propriété supplémentaire, ces relations coïncident et on peut alors munir l'ensemble quotient d'une structure de groupe.
Classes suivant un sous-groupe
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. La relation :
![](/media_src/v10f0985b02.png)
![](/media_src/v10f0985c01.png)
Bien entendu, on pourrait définir de manière analogue les classes à droite Hx pour la relation d'équivalence xy-1 ∈ H. La symétrie x ↦ x-1 est une bijection du groupe sur lui-même qui conserve les sous-groupes et échange les classes à gauche et les classes à droite ; en particulier, si le nombre de classes à gauche suivant H est fini (c'est-à-dire H d'indice fini dans G), ce nombre est aussi le nombre de classes à droite.
Revenons par exemple au groupe des « symétries » du cube, avec les notations du chapitre 2. Le groupe G1 est d'indice 2 dans G et ici les classes à gauche sont G1 et cG1, groupe des déplacements directs (rotations) et ensemble des déplacements inverses conservant le cube. Deux éléments x et y de G1 sont équivalents à gauche par rapport au sous-groupe H1 si et seulement s'ils envoient 1 sur le même sommet, puisque les éléments de H1 conservent ce sommet 1. Il y a donc huit classes : H, x2H, x3H, x4H, x5H, x6H, x7H, x8H, où xi est une rotation quelconque de G1 envoyant le sommet 1 sur le sommet i ; on peut prendre par exemple x2 = a, x3 = a2, x4 = a3, x5 = ba3, x6 = aba3, x7 = a2ba3 et x8 = a3ba3. Ainsi H1 est d'indice 8 dans G1 et on a bien :
![](/media_src/v10f0985c02.png)
On voit de même que deux rotations de G1 sont équivalentes à droite si et seulement si le sommet 1 est l'image du même sommet i par ces deux rotations, ce qui permet d'expliciter les huit classes à droite.
Indiquons enfin que, si H et K sont deux sous-groupes de G, on définit la double classe HxK d'un élément x ∈ G suivant H et K ; si K = H, on parle de doubles classes suivant H. Comme ci-dessus, on montre, en introduisant une relation d'équivalence convenable, que deux doubles classes sont disjointes ou confondues.
Automorphismes intérieurs
Si G est un groupe, l'ensemble des automorphismes de[...]
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