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GROUPES (mathématiques) Généralités

Relations d'équivalence et quotients

Dans ce qui suit interviendra souvent le fait que l'inverse d'un produit ab de deux éléments d'un groupe est le produit b-1a-1 des inverses en renversant l'ordre ; car, en utilisant l'associativité :

À partir d'un sous-groupe, on peut définir plusieurs relations d'équivalence sur un groupe. Si le sous-groupe vérifie une propriété supplémentaire, ces relations coïncident et on peut alors munir l'ensemble quotient d'une structure de groupe.

Classes suivant un sous-groupe

Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. La relation :

est une relation d'équivalence sur G. En effet x ∼g x, car x-1x = 1 ∈ H ; si x ∼g y, l'élément x-1y appartient à H et, par suite, aussi son inverse (x-1y)-1 = y-1x, ce qui signifie : y ∼g x ; la transitivité résulte du fait que, si x-1y et y-1z sont deux éléments du sous-groupe H, leur produit (x-1y)(y-1z) = x-1z est aussi un élément de H. La classe d'équivalence d'un élément x ∈ G est l'ensemble xH des produits xh lorsque h parcourt H, appelé classe à gauche de x suivant H (ou modulo H). Deux classes à gauche sont disjointes ou confondues. Lorsque le nombre de classes à gauche distinctes est fini, on l'appelle l' indice du sous-groupe H dans G, et on note ce nombre [G : H]. Remarquons que, puisque, pour x fixé, l'application g ↦ xg est, d'après la règle de simplification (cf. chap. 1), une bijection de G sur lui-même, si le sous-groupe H est fini, toutes les classes à gauche ont le même nombre d'éléments que H. Pour G fini, on obtient, puisque les classes à gauche distinctes forment une partition, que l'ordre du groupe G est le produit de l'ordre de H par l'indice de H dans G, soit :
résultat obtenu par Lagrange, sous une forme différente, à propos de la théorie des équations et avant l'élaboration de la théorie des groupes proprement dite (cf. groupes – Groupes finis).

Bien entendu, on pourrait définir de manière analogue les classes à droite Hx pour la relation d'équivalence xy-1 ∈ H. La symétrie x ↦ x-1 est une bijection du groupe sur lui-même qui conserve les sous-groupes et échange les classes à gauche et les classes à droite ; en particulier, si le nombre de classes à gauche suivant H est fini (c'est-à-dire H d'indice fini dans G), ce nombre est aussi le nombre de classes à droite.

Revenons par exemple au groupe des « symétries » du cube, avec les notations du chapitre 2. Le groupe G1 est d'indice 2 dans G et ici les classes à gauche sont G1 et cG1, groupe des déplacements directs (rotations) et ensemble des déplacements inverses conservant le cube. Deux éléments x et y de G1 sont équivalents à gauche par rapport au sous-groupe H1 si et seulement s'ils envoient 1 sur le même sommet, puisque les éléments de H1 conservent ce sommet 1. Il y a donc huit classes : H, x2H, x3H, x4H, x5H, x6H, x7H, x8H, où xi est une rotation quelconque de G1 envoyant le sommet 1 sur le sommet i ; on peut prendre par exemple x2 = a, x3 = a2, x4 = a3, x5 = ba3, x6 = aba3, x7 = a2ba3 et x8 = a3ba3. Ainsi H1 est d'indice 8 dans G1 et on a bien :

On voit de même que deux rotations de G1 sont équivalentes à droite si et seulement si le sommet 1 est l'image du même sommet i par ces deux rotations, ce qui permet d'expliciter les huit classes à droite.

Indiquons enfin que, si H et K sont deux sous-groupes de G, on définit la double classe HxK d'un élément x ∈ G suivant H et K ; si K = H, on parle de doubles classes suivant H. Comme ci-dessus, on montre, en introduisant une relation d'équivalence convenable, que deux doubles classes sont disjointes ou confondues.

Automorphismes intérieurs

Si G est un groupe, l'ensemble des automorphismes de[...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Groupe des symétries du cube - crédits : Encyclopædia Universalis France

Groupe des symétries du cube

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  • ALGÈBRE

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    La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et...

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  • BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)

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    Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...

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