GROUPES (mathématiques) Généralités

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Soit n groupes G₁, ..., G_n. L'ensemble produit :

est un groupe, appelé groupe produit, pour la loi de composition :

si H₁, H₂, ..., H_n sont des sous-groupes de G₁, G₂, ..., G_n respectivement, le groupe produit :

est un sous-groupe de G, distingué si chacun des H_i l'est. Prenons en particulier H_i = G_i et H_j = {1} pour j ≠ i ; le groupe produit est un sous-groupe distingué de G isomorphe à G_i et nous identifierons ces deux groupes. Remarquons que, en effectuant cette identification, tout élément de G_i commute avec tout élément de G_jpour i ≠ j.

Dans la situation précédente, le groupe G apparaît comme produit de certains de ses sous-groupes et les groupes obtenus en changeant l'ordre des groupes facteurs sont isomorphes.

On dira qu'un groupe G est produit direct d'une famille finie H₁, ..., H_n de sous-groupes distincts de G si tout élément de H_i commute avec tout élément de H_j pour i ≠ j et si tout élément u de G s'écrit de manière unique comme un produit :

on dit que u_i est le composant de u dans H_i. Cela entraîne que les H_i sont des sous-groupes distingués de G et que l'application :

est un isomorphisme du groupe produit H₁ × ... × H_n sur le groupe G. Si H₁, H₂, ..., H_n sont des sous-groupes distingués d'un groupe G tels que :

on montre que l' ensemble H₁ H₂ ... H_n est un sous-groupe distingué de G qui est produit direct de la famille considérée.

Un sous-groupe distingué H d'un groupe K est dit facteur direct dans G s'il existe un sous-groupe distingué K de G tels que G soit égal au produit direct de H et K ; remarquons que le groupe K est alors isomorphe au groupe quotient G/H.

En notation additive, on parle de somme directe au lieu de produit direct.

Le produit direct permet de définir une nouvelle et importante classe de groupes (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie et groupes – Groupes de Lie). Un groupe G est dit semi-simple s'il est produit direct d'un nombre fini de sous-groupes simples (c'est-à-dire dont les seuls sous-groupes distingués sont triviaux). On montre que le nombre de ces sous-groupes, appelé la longueur de G, est le même pour toutes les expressions de G comme produit direct de sous-groupes simples. Si G est produit direct d'une famille finie (H_i), i ∈ I, de sous-groupes simples, tout sous-groupe distingué K est isomorphe au produit direct d'une sous-famille (H_j), j ∈ J, J ⊂ I ; en particulier tout sous-groupe distingué est semi-simple, de longueur inférieure ou égale à celle de G (avec égalité des longueurs si et seulement si K = G). Il en est de même des groupes quotients d'un groupe semi-simple.

On va maintenant généraliser la notion de produit direct. Soit H et K deux groupes, et soit donné, pour tout x ∈ H, x ↦ τ_x un morphisme de H dans le groupe Aut (K) des automorphismes de K. On appelle produit semi-direct de H par K relatif à τ l'ensemble H × K, muni de la loi de composition :

qui est un groupe ; on notera H ×_τ K ce produit semi-direct. Si τ_x(y) = y pour tout x ∈ H, on retrouve le produit direct défini ci-dessus. On vérifie que les éléments de la forme (x, 1), x ∈ H, forment un sous-groupe de G isomorphe à H et que les éléments de la forme (l, y), y ∈ K, forment un sous-groupe distingué de G isomorphe à K. Réciproquement, soit G un groupe, H un sous-groupe de G et K un sous-groupe distingué de G tel que H ∩ K = {1}. Cela a pour conséquence que xy = x′y′, pour x, x′ ∈ H et y, y′ ∈ K, entraîne x = x′ et y =y′ (car on a alors x′^-1x = y′y^-1∈ H ∩ K, d'où x′^-1x = y′y^-1= 1). Puisque K est distingué, pour tout x ∈ H, l'automorphisme intérieur défini par x^-1 induit un automorphisme de K que nous désignerons par τ_x. On voit alors facilement[...]

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Groupe des symétries du cube - crédits : Encyclopædia Universalis France — Groupe des symétries du cube

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