GROUPES (mathématiques) Généralités
Article modifié le
Produits
Soit n groupes G1, ..., Gn. L'ensemble produit :
![](/media_src/v10f0986c06.png)
![](/media_src/v10f0987a01.png)
![](/media_src/v10f0987a02.png)
Dans la situation précédente, le groupe G apparaît comme produit de certains de ses sous-groupes et les groupes obtenus en changeant l'ordre des groupes facteurs sont isomorphes.
On dira qu'un groupe G est produit direct d'une famille finie H1, ..., Hn de sous-groupes distincts de G si tout élément de Hi commute avec tout élément de Hj pour i ≠ j et si tout élément u de G s'écrit de manière unique comme un produit :
![](/media_src/v10f0987a03.png)
![](/media_src/v10f0987a04.png)
![](/media_src/v10f0987a05.png)
Un sous-groupe distingué H d'un groupe K est dit facteur direct dans G s'il existe un sous-groupe distingué K de G tels que G soit égal au produit direct de H et K ; remarquons que le groupe K est alors isomorphe au groupe quotient G/H.
En notation additive, on parle de somme directe au lieu de produit direct.
Le produit direct permet de définir une nouvelle et importante classe de groupes (cf. groupes – Groupes classiques et géométrie et groupes – Groupes de Lie). Un groupe G est dit semi-simple s'il est produit direct d'un nombre fini de sous-groupes simples (c'est-à-dire dont les seuls sous-groupes distingués sont triviaux). On montre que le nombre de ces sous-groupes, appelé la longueur de G, est le même pour toutes les expressions de G comme produit direct de sous-groupes simples. Si G est produit direct d'une famille finie (Hi), i ∈ I, de sous-groupes simples, tout sous-groupe distingué K est isomorphe au produit direct d'une sous-famille (Hj), j ∈ J, J ⊂ I ; en particulier tout sous-groupe distingué est semi-simple, de longueur inférieure ou égale à celle de G (avec égalité des longueurs si et seulement si K = G). Il en est de même des groupes quotients d'un groupe semi-simple.
On va maintenant généraliser la notion de produit direct. Soit H et K deux groupes, et soit donné, pour tout x ∈ H, x ↦ τx un morphisme de H dans le groupe Aut (K) des automorphismes de K. On appelle produit semi-direct de H par K relatif à τ l'ensemble H × K, muni de la loi de composition :
![](/media_src/v10f0987a06.png)
La suite de cet article est accessible aux abonnés
- Des contenus variés, complets et fiables
- Accessible sur tous les écrans
- Pas de publicité
Déjà abonné ? Se connecter
Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Média
Autres références
-
ALGÈBRE
- Écrit par Jean-Luc VERLEY
- 7 145 mots
La structure de groupe est une des structures algébriques les plus simples et, sans conteste, la plus importante des mathématiques modernes. Son universalité ne s'arrête pas là : le psychologue Piaget a mis en évidence le rôle essentiel joué par cette notion dans les mécanismes mêmes de la pensée, et... -
BOREL ARMAND (1923-2003)
- Écrit par Pierre CARTIER
- 795 mots
En 1992, le mathématicien Armand Borel a reçu le prix international Balzan « pour ses contributions fondamentales à la théorie des groupes de Lie, des groupes algébriques et des groupes arithmétiques, et pour son action inlassable en faveur de la recherche mathématique et de la propagation...
-
BURNSIDE WILLIAM SNOW (1852-1927)
- Écrit par Bernard PIRE
- 394 mots
Mathématicien britannique, spécialiste de la théorie des groupes. Né le 2 juillet 1852 à Londres (Grande-Bretagne) d'un père écossais, William Snow Burnside fait ses études supérieures au Pembroke College de l'université de Cambridge, dont il est diplômé en 1875 et où il effectue ses recherches...
-
CAUCHY AUGUSTIN-LOUIS (1789-1857)
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 1 402 mots
- 1 média
...valeurs propres d'une matrice symétrique d'ordre supérieur à 3, et il partage avec Binet la découverte de la formule donnant le produit de deux déterminants. Il a été aussi le premier à dégager clairement la notion de groupe de permutations et on lui doit les premiers résultats non triviaux de la théorie des... - Afficher les 34 références
Voir aussi
- REPRÉSENTATION D'UN GROUPE
- ORBITE, mathématiques
- GROUPE TRANSITIF
- GROUPE SIMPLE
- PRODUIT DIRECT
- GROUPE SEMI-SIMPLE
- OPÉRATION D'UN GROUPE
- GROUPE QUOTIENT
- NOYAU, algèbre
- HOMOMORPHISME
- ISOMORPHISME, mathématiques
- CENTRE, mathématiques
- CONJUGUÉ D'UN ÉLÉMENT
- AUTOMORPHISME
- GROUPE RÉSOLUBLE
- GÉNÉRATEURS SYSTÈME DE
- ESPACE HOMOGÈNE
- RACINES N-IÈMES
- SUITE EXACTE
- GROUPE CYCLIQUE
- GROUPE DIÉDRAL
- CRISTALLOGRAPHIE
- ÉQUIVALENCE RELATION D'
- CLASSE D'ÉQUIVALENCE
- CENTRALISATEUR, mathématiques
- SOUS-GROUPE DISTINGUÉ OU NORMAL
- SUITE DE COMPOSITION
- COMMUTATEUR, mathématiques
- SOUS-GROUPE
- GROUPE SYMÉTRIQUE
- ORDRE D'UN GROUPE
- NORMALISATEUR
- MOT, mathématiques
- GROUPE LIBRE
- IMAGE, algèbre
- JORDAN-HÖLDER SUITE DE
- KLEIN GROUPE DE
- GROUPE NILPOTENT
- SYMÉTRIE, mathématiques
- MORPHISME
- GROUPE COMMUTATIF ou GROUPE ABÉLIEN
- POLYGONES
- ENSEMBLE PRODUIT
- CUBE
- INDICE D'UN GROUPE
- ASSOCIATIVITÉ
- COMMUTATIVITÉ
- NEUTRE ÉLÉMENT
- SYMÉTRIQUE ÉLÉMENT